2020 Fiscal Year Research-status Report
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20K14284
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
越川 皓永 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (10791452)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | p進Ｈodge理論 / プリズマティックコホモロジー / 対数的幾何 / 志村多様体 / K3曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
p進Hodge理論、特に整係数の理論、と関連することを中心に研究した。1.対数的プリズマティックコホモロジー、2.Ainfコホモロジーの相対版、の2つに分かれる。
1.はBhattとScholzeにより導入されたプリズマティックコホモロジーという新しい理論の対数版であり、半安定還元の場合への一般化を特に含む。彼らの仕事で重要であったFrobenius持ち上げ(より正確にはdelta構造)の対数版の適切な枠組みを見つけ、それに対数的幾何学の標準的な技術を用いることで基礎的な理論を展開した。特に、一部は技術的な仮定の下ではあるが、BhattとScholzeの結果の多くを拡張した。さらに、準サントミック降下という重要な新しい技術の対数版を用意することで、対数的プリズマティックコホモロジーの導来版が十分良く振舞うことも確認した。
2.はBhatt、Morrow、Scholzeらにより導入されたAinfコホモロジー（プリズマティックコホモロジーの特別な場合とみなせる）の相対版である。彼らの定義を相対的な状況で一般化するには、トポスのファイバー積を用いればよいというのがアイデアである。技術的には少し込み入る点もあったが、ほぼ想定通りに進み、プリズマティックコホモロジーの相対版との比較も行った。この研究はIldar Gaisin氏との共同研究であり、Gaisin氏が研究発表も行った。
この他、Harris-Taylor型の志村多様体のコホモロジーの消滅定理の論文を改訂し、出版された。また、K3曲面のCM持ち上げと自己積のTate予想についての論文（伊藤哲史氏、伊藤和広氏との共著）の改訂を行い、出版が決まった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
対数的プリズマティックコホモロジー、Ainfコホモロジーの相対版のどちらの理論も順調に研究が進んだといえる。特に、これにより、基礎となっている定義として採用したものが正しいことを確認できたことが重要である。対数的プリズマティックコホモロジーの理論については、現時点では技術的に完全にははっきりしていない部分もあるものの、応用上では困らないであろう状態であるといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
対数的プリズマティックコホモロジーの理論の研究を引き続き行う。まず、既に得られている結果を、可能なら改善し、完成させる。また、その先の課題としては、対数的エタールコホモロジーとの比較にも取り組む予定である。プリズマティックコホモロジーの理論は既に様々な応用があるため、新たな応用を見つけることも目指していきたい。
そして、志村多様体のコホモロジーについての研究を進める。FarguesとScholzeによる局所Langlands対応の幾何化についての研究が発表された。この研究は革新的であり、局所志村多様体や（大域）志村多様体のコホモロジーのより詳細な研究に用いることができると期待される。彼らの構成した対称性は多くの情報を含むため、それを解析し必要な情報を切り出して研究に用いたい。
その他、Ainfコホモロジーの相対版、K3曲面の積のTate予想について準備中の論文を完成させる。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍において、国内外の研究集会が中止・延期・オンライン開催となったためである。
次年度以降に情勢が変わってから、旅費として使用する予定である。
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