2023 Fiscal Year Annual Research Report
Weight modules and crystal bases for quantum symmetric pairs
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20K14286
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University |
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Principal Investigator |
渡邉 英也 大阪公立大学, 数学研究所, 学振特別研究員(PD) (10848782)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 量子対称対 / 結晶基底 / 標準基底 / 表現論 / 組合せ論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題における主な実績は、量子対称対の結晶基底の理論の構築と標準基底の安定性の証明である。
結晶基底の理論は、量子対称対の表現論を組合せ論的に記述する理論であり、本研究で初めて定式化された。この手法で量子対称対の表現論を理解することによって、特別な場合には、後述する標準基底の安定性を証明することができた。他の応用として古典型の複素単純リー代数の表現論の新しい組合せ論的模型を構築したり、分岐則を得たりした。さらに、離散力学系における反射方程式の解を組合せ論的かつ系統的に構成することに成功した。この他にも、結晶基底の理論においては、表現論的あるいは組合せ論的に興味深い現象がいくつも観察されており、今後のさらなる発展が期待される。
標準基底の安定性は、量子対称対の表現論の幾何学的あるいは圏論的解釈のために必須の性質であるが、その正しさは未だ完全には保証されていない。準分裂局所有限型という特別な場合には、前述の結晶基底の理論を適用することで証明された。その後、本研究において、標準基底の安定性と結晶基底の理論は密接に関係していることが判明し、結晶基底の理論の考え方を取り入れることで、局所有限型という非常に一般的な場合にまで安定性の証明を拡張することに成功した。このように十分一般的に標準基底が安定性を有することが明らかになったことで、先に触れた幾何学的あるいは圏論的解釈が現実味を帯び、関連する研究が促進された。
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