2021 Fiscal Year Research-status Report
Study of the Langlands functoriality via an explicit local Langlands correspondence
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20K14287
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
大井 雅雄 京都大学, 白眉センター, 特定助教 (40868171)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 局所Langlands対応 / Langlands関手性 / 正則超尖点表現 / 相対Langlands対応 / beyond endoscopy |
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| Outline of Annual Research Achievements |
局所Langlands対応によると，p進簡約群の既約表現は，Lパラメータと呼ばれる局所Galois表現（の変種）によって分類される．したがってLパラメータに関する線形代数的操作を一つ考える毎に，それに相当する操作がp進簡約群の表現にも存在すると期待される．本研究の目的は，局所Langlands対応が既に確立されている「正則超尖点表現」と呼ばれるクラスの表現に的を絞ることで，このLanglands関手性に関するいくつかの予想に取り組むことであった．
今年度は主に，p進簡約群の正則超尖点表現の捻られた指標公式の研究に時間の大半を費やした．捻られた指標とは，p進簡約群の自己同型に関して定義される通常の指標の亜種であり，endoscopy型のLanglands関手性を特徴づける要となるものである．この捻られた指標公式は，最終的には有限体上のHeisenberg-Weil表現の捻られた指標の計算に帰着されることが分かったが，現時点ではまだそれを計算しきるに至っておらず，あと一歩のところで止まっている．
また捻られた指標公式においては，p進簡約群における半単純降下という現象が自然に現れることが分かった．本研究の考察対象の一つである相対Langlands対応の文脈においては，しばしば降下された群に関する特別性という概念が登場する．そこで，表現がいつ特別になるか，あるいはそもそもなぜ表現の特別性がLanglands関手性と結びつくかということの根源的な理由が，捻られた指標公式で説明できるのではないかと期待できる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
現時点で得られている成果は全て古典的なendoscopy型のLanglands関手性の基礎的な部分に関わるものであり，肝心のbeyond endoscopy型のLanglands関手性についての研究には未だに着手ができずにいる．問題についての理解は着実に深まってはいるが，当初の予定通りの成果をあげるという点においては，大きく遅れをとってしまっている．
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは当初の研究計画で予定していた，正則超尖点表現の関手的持ち上げがいつ再び正則超尖点になるか，という問題の研究を可能な限り早く完遂させる予定である．また近年急速に進展している分野ということもあり，関連する新しい研究が最近では次々に報告されているので，それらの情報収集にも努めたい．
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| Causes of Carryover |
今年度もコロナウイルス感染症の影響により，全ての海外渡航の予定は中止となり，国内出張もほぼ全くできなかった．研究費の大部分は旅費に使用する予定だったため，これにより次年度使用額が生じることとなった．次年度以降は様子を見つつ可能な限り積極的に海外渡航やワークショップの開催等を行いたいと考えており，次年度使用額もそこに用いる予定である．
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Research Products
(10 results)
