2023 Fiscal Year Annual Research Report
Auslander-Reiten theory for the lattice category of ordes
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20K14302
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
宮本 賢伍 茨城大学, 理工学研究科(工学野), 助教 (90845801)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Heller格子 / AR列 / τ傾有限 / q-有理数 / 一様巡回群分解 / グラフの線形表示 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度では, 完備離散付値環上の対称的整環のHeller格子を終域にもつAR列に剰余体をテンソルをとり係数拡大することで, 係数拡大された有限次元対称代数上のAR列を復元する, という状況を詳細に精査した. 結論としてはある仮定のもとで群環の場合と同様の現象が生じることを確認した.
本結果については, 論文を準備中である.
これまでに, 単連結代数のテンソル積代数のτ有限性について, 一部を除いて分類を行なっていた. 不完全であった分類を完全に与え, 論文を再投稿した. 単連結代数の場合においては, τ傾有限であることと有限表現型であることは同値であるため, これで有限次元であって, 単連結代数のテンソル積になっているものがクイバーと関係式によって完全に決定されたことになる.
与えられた有限次元代数上の加群における部分加群の数をカウントすることは, 組み合わせ論的にも重要な問題である. クイバーがA型の時は, 有理数のq-変形を与えることにより計算することが知られていたが, 当該年度ではそれをさらに精査し, 部分加群の数をカウントする公式を与えた. さらに, q-有理数に関する初等整数論的な性質をまとめ上げ, rational linkの正規化されたJones多項式の特殊値に関する新たな知見を得た.
最後に, 工学系への応用に関する研究である. 1つは「表現論の暗号理論への応用」について, 昨年度に定義した一様巡回群分解の暗号への応用や, ルービックキューブ等の初期インスタンス生成などへの応用を提唱した. もう1つは, グラフの正規表現を許した文字列への変換に関してである. 化学物質などを文字列で検索する技術にSMILESというものがあるが, これを正規表現を許す形に拡張した.
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