2021 Fiscal Year Research-status Report
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20K14303
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
佐藤 謙太 九州大学, 数理学研究院, 助教 (10849326)
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2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | klt特異点 / lc特異点 / Q-Gorenstein / 変形理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は前年度に引き続き、高木俊輔氏との共同研究において、代数多様体の特異点の変形理論を研究した。対数的端末(klt)特異点や対数的標準(lc)特異点は、特異点解消の言葉を用いて定義される特異点のクラスであり、極小モデル理論において重要な役割を果たすとともに、Fano多様体やCalabi-Yau多様体とも密接な関係を持っている。
これらの特異点が平坦族による変形で保たれるか、ということは自然な問題であるものの、変形の全空間がQ-Gorensteinでない場合には未解決の部分が多く残されている。
Esnault-Viehwegは、klt特異点が変形によって保存されることを、変形のbase schemeが１次元の場合において証明した。今年度はこの結果を、base schemeが一般次元の場合に拡張した。証明において重要な役割を果たすのが、乗数イデアルと呼ばれる、klt特異点を特徴づけるイデアルである。Esnault-Viehwegらは、このイデアルそのものを扱う代わりに、それを標準因子で適切にシフトしたバージョンを考えることで、non-Q-Gorensteinに由来する困難を克服していた。
我々は、彼らの証明に現れたシフトされた乗数イデアルが、近年定義された概念であるvaluatively klt特異点と密接な関係にあることを見出し、そのことを利用してvaluatively klt特異点の逆同伴公式を証明した。
また，今年度はlc特異点の変形についても研究を行った。石井志保子氏は、ファイバーが孤立特異点しか持たないという仮定のもとで、１次元のbase scheme上での変形でlc特異点が保たれるということを示した。我々はこの結果を、ファイバーが孤立特異点とは限らない場合に拡張した。
以上の結果をプレプリントとして発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題では，正標数のFano多様体の有界性を解明することを最終目標とし、局所大域双方の視点から研究を行っている。
klt特異点は、Fano多様体の豊富な因子による錐をとると現れる特異点であり、Fano多様体の族を考えることとklt特異点の族を考えることには密接な関係がある。その一方で、錐をとる際の豊富な因子はうまく選ばない限り、一般にはnon-Q-Gorensteinな特異点が現れることが知られている。従って、今年度の研究によってnon-Q-Gorensteinな状況下でのklt特異点の振る舞いについて更なる知見を得ることができたのは、今後の研究において非常に有益であると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後はまず、今年度得られた標数0での結果の類似を、正標数のF特異点で考察したい。これによって、正標数の特異点のnon-Q-Gorensteinな状況での振る舞いを明らかにしたい。またその一方で、大域的な手法を用いた研究も推進していきたい。具体的には、Fano多様体上のコホモロジカルな不変量に関する一様有界性について調べる。
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| Causes of Carryover |
COVID19により出張がすべてなくなった為、2021年度の助成金の一部を2022年度に持ち越すこととなった。
オンライン環境を整える為の物品購入費等に使用する予定である。
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