2022 Fiscal Year Research-status Report
gl(1|1)-quantum invariant of trivalent graphs and knot Floer homology
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20K14304
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
鮑 園園 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (00710823)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Alexander多項式 / グリッド図式 / gl(1|1) / Heegaard Floerホモロジー / グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Heegaard Floerホモロジーの量子トポロジー的な意味、そしてgl(1|1)-量子不変量のさまざまな側面を理解しようとするのが本研究の主な目的である。Heegaard Floerホモロジーとgl(1|1)-量子不変量の関係について、たくさんの研究が既に知られている。OzsvathとSzaboは結び目のbordered Floer theoryを構成し、Heegaard Floerホモロジーとの同値性を証明した。Manionはこのbordered Floer theoryのdecategorificationはViroが構成したgl(1|1)-量子群に対応するReshetikhin-Turaev関手と一致していることを証明した。bordered Floer theoryとgl(1|1)-量子群の更なる関係について現在も盛んに研究されている。
以前の研究において、私は三価空間グラフに注目し、三価空間グラフのHeegaard Floerホモロジーのオイラー標数と三価空間グラフのgl(1|1)-Alexander多項式との関係について入念に調べた(一部はZhongtao Wu氏との共同研究) 。今年度、グリッド図式を利用してこの多項式の公式を一つ与えた。Ozsvath、Stipsicz と Szabo は結び目のグリッド図式を使って結び目の Alexander多項式を再定義し、グリッド移動における不変性も示した。HarveyとO’DonnolはOzsvathらの仕事を拡し、transverseグラフのグリッド図式を定義した。今年度Zhongtao Wuとの共同研究で、 MOYグラフ（色付き三価空間グラフ）のグリッド行列を利用して、MOY グラフのgl(1|1)-Alexander 多項式の公式を一つ与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
まず、昨年度グリッド 図式を利用して研究を行った動機について説明する。結び目や絡み目を表示する方法として、グリッド 図式は 19 世紀 Brunn によって紹介された。近年、結び目 Floer ホモロジーのグリッド図式による組み合わせ的な定義が導入されたことで、この表示方法の結び目理論における重要性が再び認識された。OzsvathとSzaboのbordered Floer theoryはとても有力的であるが、dg代数など複雑な代数的な構造を使われている。もっと組み合わせ的な方法でHeegaard Floerホモロジーと量子トポロジーとの関係を理解できないかという疑問を常に持った。Heegaard Floerホモロジーのグリッド図式による定義が完全に組み合わせてきて、理解しやすい。この定義の量子トポロジーとの関係についてまだ知られていないため、量子トポロジーの視点でこの定義を理解可能かどうかを調べたい。
行列の行列式は単項式の和である。各単項式は一つの“状態”と見なし、行列式は“状態和”になる。MOY グラフ（色付き三価空間グラフ）のgl(1|1)-Alexander 多項式はグリッド行列の行列式で計算できることから、gl(1|1)-Alexander 多項式のある種の“状態和”公式が得られた。この“状態和”は量子トポロジーにおいて意味があるものなのかどうか今後詳しく調べる予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
これからの研究について，次の二つの方向に沿って推進したいと考えている。
（１）三次元多様体Mに対し、一昨年度構成した3次元多様体の不変量\Delta (M, \Gamma, \omega)の性質を調べ、位相的な解釈があるかどうかを検討する。超リー代数gl(1|1)の量子展開環の様々な表現を詳しく調べ、特に既約表現と自然表現の交代テンソル積の関係について細かく分析する。それらの表現から構成される量子不変量を利用してCostantino, Geer とPatureau-Mirandの方法で\Delta (M, \Gamma, \omega)以外のgl(1|1)-多様体不変量を構成できるかどうかを検討する。
（２）「現在までの進捗状況」で述べたMOY グラフ（色付き三価空間グラフ）のgl(1|1)-Alexander 多項式のグリッド行列による公式について、量子トポロジーにおいてどのように解釈するかを考える予定である。そしてHeegaard Floerホモロジーのグリッド図式による定義は量子トポロジーのアプローチで理解できるかどうかを調べる予定である。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由:コロナ禍の中、予定していた研究訪問や国際会議の参加を実行できず、旅費の支出ができませんでした。そして多くの研究集会はオンラインで開催したため、旅費を支出がありませんでした。
使用計画:翌年度分として請求した助成金と合わせて次のように使用する予定である。物品費:本と研究で使うソフトウェアーの購入。旅費:中国、アメリカの大学や研究所を訪問する予定である。
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