2023 Fiscal Year Research-status Report
gl(1|1)-quantum invariant of trivalent graphs and knot Floer homology
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20K14304
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
鮑 園園 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (00710823)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 3-manifold / gl(1|1) / Alexander多項式 / Reidemeister torsion / lens space |
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| Outline of Annual Research Achievements |
量子トポロジーにおいて、結び目の量子不変量が定義されましたら、その不変量を空間グラフへ拡張し、それを用いて３次元多様体の不変量を構成し、さらにTQFTを構成するという流れがよく見られます。例えばWRT不変量はこのような理論です。TQFTは三次元多様体の不変量として重要であるだけでなく、写像類群への応用などもあり、低次元トポロジーにおいて非常に注目される研究対象です。
この研究の目的は三価グラフのgl(1|1)-量子不変量及びHeegaard Floerホモロジーを研究することです．Viroによって構成されたgl(1|1)-Alexander多項式（量子不変量）はHeegaard Floerホモロジーのオイラー標数であるため、Heegaard Floerホモロジーの量子トポロジー的な意味を考察するために、gl(1|1)-Alexander多項式に対応するTQFTは何かという疑問に答える必要があると感じました。
2023年度gl(1|1)-Alexander多項式を使って３次元多様体の不変量を構成しました。以下，この不変量をdelta(M)で表します．2024年度、delta(M)の式をさらに練り上げ，既存の不変量との関係を調べました．結果として，delta(M)はReidemeister torsionとほぼ同値であることを証明しました。そしてLens空間の場合のdelta(M)を計算し，これを用いてLens空間の分類問題を議論しました．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Reidemeister torsionは1930年代Reidemeisterによって定義された閉３次元多様体の不変量で，それを用いて３次元lens空間を完全に分類できます．その後MilnorはReidemeister torsionのAlexander多項式との関係を指摘，Turaevは一連の論文でReidemeister torsionの計算公式を詳しく与えました．この不変量は古典的不変量としてとても重要です．一方で1980年代以後，WRT不変量のような量子不変量が現れ，古典的不変量と量子不変量の関係が一つの基本問題として多く研究されています．例えば，Reidemeister torsionは量子不変量として定義できるか，対応するTQFTは何か，などの問題があります．
一方で，３次元多様体のHeegaard Floerホモロジーのオイラー標数はReidemeister-Tureav torsionであることが知られています．2024年度の研究では，Reidemeister torsionはgl(1|1)-量子不変量とDehn手術から構成されたdelta(M)と同値であることを示しました．つまり，Reidemeister torsionはWRT不変量と同様な手法で再構成することができることを解明しました． 今後，delta(M)に対応するTQFTを調べる予定です．この研究が順調に進めば，OzsvathとSzaboによって構成された３次元多様体のHeegaard Floerホモロジーに対応するTQFTとの関係を考えたいと思います．以上により，本研究課題は概ね順調に進展していると考えます．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後，delta(M)に対応するTQFTを調べる予定です．境界付き３次元多様体に対応するdelta(M)はReidemeister torsionとの関係を調べ，そして写像類群への応用を考える予定です．
1980年代WittenはTopological Quantum Field Theory（TQFT）を紹介し，その後ReshetikhinとTuraevはそれに基づき，結び目の量子不変量と量子群を用いてTQFTを構成しました．この方法はのちにTureavによって一般化され，modular categoryからTQFTを構成する理論を作りました．現在これに対応する不変量はWRT不変量と呼ばれます．近年，CPT不変量と呼ばれる不変量がさらに構成され，WRT不変量の精密化になります．CPTの構成において，objectのquantum dimが0など良くない性質を持つcateogryからも不変量を作ることができるようになります．
delta(M)の定義では，CPTの構成法を利用しました．今後delta(M)に対応するTQFTを考えるとき，克服すべき問題点を洗い出し，先行研究を参考しながら解決していきたいと考えます．特に，Blanchet, Costantino, GeerとPatureau-Mirandによって構成された一連のnon-semi-simple TQFTは重要な参考文献になると思います．
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| Causes of Carryover |
2023年１０月より，現在の大学に転入し，新しい業務を担当することになりました．これにより，研究交流などを予定通り実施することができませんでした．次年度の使用計画は以下のとおりです．
2024年7月， 沖縄科学技術大学院大学のXiaobing Sheng氏を招待し，研究打ち合わせをします． 2024年８月，香港中文大学に訪問し，Zhongtao Wu氏と研究打ち合わせをします． 東京にいる研究者を定期的に訪問する予定です．２０２４後半，韓国，アメリカ，中国への訪問を現在計画しています． そして，研究に必要な書籍，電子機器などを購入する予定です．
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