2021 Fiscal Year Research-status Report
反ド・ジッター空間における曲面論と普遍タイヒミュラー理論との相互的研究
| Project/Area Number |
20K14306
|
|---|
| Research Institution | Nagoya University |
|---|
Principal Investigator |
藤野 弘基 名古屋大学, 高等研究院(多元), 特任助教 (90824037)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | タイヒミュラー空間 / 極大曲面 / 極小曲面 / 調和写像 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
反ド・ジッター空間における曲面論と普遍タイヒミュラー空間論との相互的研究の一つとして、リーマン面がタイヒミュラー空間内でどのように退化するか、退化の様子をボンサンテ・シュレンカー対応を用いて可視化することを試みた。ボンサンテ・シュレンカー対応は「タイヒミュラー空間」と「三次元反ド・ジッター空間内のある種の極大曲面全体」との間の一対一対応である。これにより抽象的なリーマン面が、反ド・ジッター空間という三次元（すなわち可視化可能な）時空内の曲面に置き換わるため、退化の様子を可視化でき（収束したとすれば）退化極限を実際に目で見ることが可能となる。
本年度では昨年度に引き続き、反ド・ジッター空間内の極大曲面を調べるための基礎研究として、より扱いの容易となるミンコフスキー空間内の極大曲面を詳しく調べた。特にボンサンテ・シュレンカー対応において重要となる曲面の「グラフ性」について研究を行い、古典的に知られているクラストの定理を（平坦空間の場合に）大きく一般化することができた。その結果ローレンツ空間における曲面のグラフ性は、そのローレンツ空間を適切に退化させた空間における曲面の性質によって強い影響を受けるという今までにない観察が得られる。また「適切に退化させた空間」における曲面の拡張可能性についても研究を行い、曲面の境界上に現れる退化曲線に関する鏡像の原理を証明した。これらの研究に現れる「適切に退化させた空間」は反ド・ジッター空間に対しても容易に類似物を考えることができるため、当該研究課題を遂行するための指針が得られたことになる。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
クラストの定理とは三次元ユークリッド空間内の極小曲面がある種の性質を持つとき、その同伴族（変形族の一種）が全てグラフとして書けるという結果である。古典的には完備な埋め込み曲面の構成などに応用されている。一方本研究によって得られたクラストの定理の一般化は、曲面を“空間ごと”変形する族を構成し、それに対し曲面のグラフ性がどのように変化するかを明らかにするものである。特に空間が退化したときの曲面の性質が変形族全体のグラフ性に大きく影響を与えることが分かる。これは従来のクラストの定理（の一般化）からは示唆されていなかった重要な観察である。
反ド・ジッター空間は双曲的なローレンツ空間であり、平坦空間において知られている現象でもアナロジーを考えそれを証明することは一般に困難である。一方で、上記研究によって得られた「適切に退化させた空間（退化空間）に議論を帰着させる」というアイデアはこの困難を克服するための一つの指針となるものである。一般に退化空間は元の空間よりもシンプルな構造を持つため、特に解析的には扱いやすくなるためである。
本研究でこれまでに得られてきた平坦空間における結果を、反ド・ジッター空間に対して拡張することは本研究課題を遂行するうえで重要なステップである。従って、本年度に得られた成果は本研究課題の達成に対し確実に前進していることを意味しており、それゆえ年度内の研究活動に関する取り組みはおおむね順調であると自己評価する。
|
| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究によって得られた「適切に退化させた空間（退化空間）に議論を帰着させる」というアイデアを用いて、これまでに得られてきた平坦空間に対する結果を反ド・ジッター空間に拡張することを考える。ただし反ド・ジッター空間の退化空間はよりシンプルな構造を持つとはいえ、それでも幾つかの困難が考えられる。特に双曲計量に関する調和写像の具体的な構成法を構築することはこの指針で研究を進めるうえで必要不可欠である。従って（１）双曲計量に関する調和写像の構成、及び（２）平坦空間に対する研究の継続、の二つの研究を並行して進めていく。また（２）の研究に関してはこれまでの研究によって多くのまとまった結果が既に得られている。そのため、それらの研究を体系的にまとめるということは当該研究分野の進展において重要な意味を持つ。従って平坦空間に対する本研究の手法を体系化することも一つの課題として進めていく。
|
| Causes of Carryover |
コロナウィルスの影響により、多くの研究集会が中止またはオンライン開催となった。これにより出張にかかる費用がほとんど使用されなかったため次年度使用額が生じた。また翌年度使用計画として、コロナ禍が収束した場合に積極的に研究発表を行うために出張旅費などに次年度使用額を使用する。
|
| Remarks |
当該研究おいて作成した論文「Reflection principles for zero mean curvature surfaces in the isotropic 3-space」は現在投稿中である（現段階では原稿は非公開にしている）。
|
