Kontsevich不変量と結び目の可逆性

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K14309
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 石川 勝巳 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (90850610)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 結び目 / Kontsevich不変量 / 有限型不変量 / 可逆性

Outline of Annual Research Achievements

本研究では量子不変量が結び目の可逆性を判定しうるかという問題について調べており、特に、結び目の量子不変量や（有理係数の）有限型不変量に対して普遍性を持つKontsevich不変量と呼ばれる不変量について可逆判定性を持つかどうか明らかにすることを第一の目標としている。
初年度である当該年度では、Kontsevich不変量が値を持つ、開Jacobi図の空間と呼ばれる線形空間について研究を行った。Kontsevich不変量については可逆性を持たないことが予想されているが、このことは開Jacobi図の空間において奇数個の１価頂点を持つ連結なグラフが生成する部分空間が消えていることと同値であることが知られている。研究者自身の手計算により、この中で特にループ次数８以下の部分についてはその消滅が確認されていたが、９-ループ以上では計算量が膨大になるほか、ここで用いた手法が使えない場合が現れることがわかっていた。そこで本年度では特に９-ループのグラフたちのなす部分空間について、これが消えているかどうかを計算機を補助的に用いて判定することを目標に研究を行った。
結果として、当該空間の９-ループ部分は消えているということが証明できた。各ループ次数部分に限ったとしても開Jacobi図の空間を計算するには無限次元の線形空間を扱う必要があるが、本年度ではこれを有限次元の線形空間の問題に帰着させるような手法をいくつか発見・導入することに成功した。これにより計算機を全面的に用いた計算を行うことが可能となり、これらの手法自体は完全なものではない（関係式を全て尽くしているわけではない）ものの、９-ループの場合に消滅を示すには十分であったようで、結果を得ることができた。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

当初の予定通り、奇数個の１価頂点を持つようなループ次数９のグラフたちのなす開Jacobi図の空間の部分空間について、その次元を計算（消滅を確認）することができた。まだプログラムの確認を十分に行えていないほか、動作に若干の不安が残る点はあるが、一方で開Jacobi図を有限次元的に扱う手法の発見など当初の予定以上に研究が進んだ点もあった。全体としてはおおむね順調な進展具合と言えるだろう。

Strategy for Future Research Activity

当初の予定通り、次年度では初年度の結果を一般化し、奇数個の１価頂点を持つグラフが開Jacobi図の空間の中で消えることの証明を試みるが、初年度で作成したプログラムの十分な確認がまだ行えていないため、まずはこれを精査することから取り掛かる。特に初年度に計算を実行した際、ある関係式を追加したところで急に計算が進むという現象が見られたため、この部分のプログラムに誤りがないかどうか、よく確認する必要がある。もちろん誤りがあれば修正・再計算するが、プログラムが正しければこの部分に重要な関係式が含まれているという可能性が高く、理論的な一般化の鍵となるのではないかと期待している。

Causes of Carryover

新型コロナウイルス感染症対策として国内外の研究集会の多くがオンライン開催へ変更となり、出張旅費として使用する予定であった分を次年度へと繰り越すこととなった。繰り越し分についてはオンラインでの研究発表用の機器（タブレット端末等）の購入費用や、感染症が収まり出張が可能となった後の旅費として使用する予定である。