2021 Fiscal Year Research-status Report
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20K14309
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
石川 勝巳 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (90850610)
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2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 結び目 / Kontsevich不変量 / 量子不変量 / 有限型不変量 / 可逆性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では量子不変量が結び目の可逆性を判定しうるかという問題について調べており、特に、結び目の量子不変量や（有理係数の）有限型不変量に対して普遍性を持つKontsevich不変量と呼ばれる不変量について可逆判定性を持つかどうか明らかにすることを第一の目標としている。Kontsevich不変量が値をとる開Jacobi図の空間と呼ばれる線型空間について調べることでKontsevich不変量自体の性質を導くと言うのが本研究の方針である。
初年度では、開Jacobi図の空間で奇数個の１価頂点を持つグラフが生成する部分空間について、その９-ループ部分が自明であることを計算機を用いた計算によって示した。続く本年度では昨年度の計算過程をより詳しく見ることで、これまでの計算の正確さをより確実なものとするとともに、手計算や理論的な一般化に用いることができるような手法の発見と、それを用いた一般のループ次数の当該部分空間の消滅の証明を目標に研究を行った。
結果として、まず昨年度の計算の正確さについては十分な確認がとれたと考えている。実際、以前は考えていなかった「橋」を持つグラフまで含めて計算してその過程を表示することにより、計算機の証明過程を大部分理解することができるようになった。９-ループ部分を完全に手計算で証明できるまでには至らなかったものの、手計算では煩雑で敬遠したり見逃していたような関係式から消滅が示されることがわかり、手計算上便利な対称性を用いた手法も発見された。
しかし、本年度目標としていた一般のループ次数の場合の証明はできなかった。新しく見つかった手法も計算を飛躍的に進めるものというよりは頻出だが限られた状況下で成り立つ性質といった面が強く、理論的な応用は難しいように感じた。本質的には４-ループのグラフの変形から来る関係式でも人の目で捉え切るのは難しいといった課題も浮かび上がってきた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度前半に予定していたプログラムの確認と計算過程の精査は行うことができたが、当初予定していた、一般のループ次数の奇数個の１価頂点を持つグラフの消滅の証明には至らなかった。また、計算過程から新しい性質を発見することはできたものの、本質的に研究を進めるような応用性のあるものではなく、一般の場合の証明に近づいたとは言い難い。全体としては予定よりも研究が遅れていると言わざるを得ない。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度に予定していた一般のループ次数での消滅の証明を引き続き試みる。具体的には１価頂点の一部を固定した開Jacobi図の空間を考え、特に固定した頂点に置換群を作用させたときの開Jacobi図の空間の振る舞いについて調べることで、グラフをいくつかの部分に分割してそれぞれの局所的な性質から成り立つ関係式を導出することを考えている。
また、可逆判定性を持つという可能性や有理係数以外の有限型不変量から向きの情報を得られるという可能性も考えて、非可逆性の判定法を広い観点から調べる。特に、整数係数のAlexander加群や分岐被覆に対する各種不変量の振る舞いを調べることが重要だと考えている。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症対策として国内外の研究集会の多くがオンラインもしくはハイブリッド型での開催へ変更となり、出張旅費として使用する予定であった分を次年度へと繰り越すこととなった。繰り越し分については感染症が収まり出張が可能となった後の旅費として使用する予定である。
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