2020 Fiscal Year Research-status Report
シャドウによる3次元・4次元多様体の幾何構造の研究
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20K14316
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
直江 央寛 中央大学, 理工学部, 助教 (10823255)
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2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 4次元多様体 / シャドウ / 多面体 / 曲面結び目 / 接触構造 / ファイバー構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
シャドウとは4次元多様体に局所平坦に埋め込まれた2次元多面体であり，4次元多様体およびその境界の3次元多様体に対する一種の組み合わせ的表示を与える．シャドウには真頂点と呼ばれる特別な頂点が存在し，その個数の最小値としてシャドウ複雑度と呼ばれる3・4次元多様体の不変量が定義される．本研究課題では，シャドウを用いた３・4次元多様体の幾何構造およびそれらの複雑度に関する研究を目的としている．
今年度は，4次元球面に埋め込まれた2次元球面である2次元結び目に対して，そのシャドウの構成とシャドウ複雑度に関する研究を行った．先行研究として（捻れ）スパン結び目のシャドウについて，1次元結び目のガウスコードを経由した構成が得られていたが，今回，橋分解を経由して構成を行うことで真頂点の個数を抑えてシャドウを構成することができた．また，シャドウ複雑度や多面体の構造に制限を与えた場合にどのような2次元結び目が現れるか研究を行った．
上記に関連し，石川氏と古宇田氏とともに4次元多様体内の多面体の補空間の基本群に関する研究を行った．具体的には，その多面体を部分多面体として含むようなシャドウを考え，シャドウの補空間の基本群の表示を Turaev の再構成に基づき計算しておき，部分多面体に対応するよう関係式を加えるという方針で基本群の表示が得られる．
また，3次元多様体のフロースパインと接触構造，ファイバー結び目について研究を行った．石井氏，石川氏，古宇田氏との先行研究で，任意のフロースパインに対して3次元多様体上の接触構造が存在することが示せていたが，その tight 性の判定について調べるべく，フロースパインからオープンブック分解を構成する方法を模索した．また，フロースパインのコイルと呼ばれる結び目がクラックを持つとき，対応する Seifert 膜がファイバー曲面になる状況について研究を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
シャドウ複雑度が0であるような2次元結び目は自明な結び目に限ることが証明できた．また，特殊シャドウ複雑度についても，1以下ならば自明な結び目に限ることが証明できた．これらの証明には多面体の分類と分解を用いて大規模な考察が必要であると考えていたが、ホモロジーの条件による場合分けでかなり証明を簡略化できた．基本群の表示についても，1次元結び目の Wirtinger 表示に現れる関係式を見出すことができており，既存の概念とも整合性のとれる結果といえる．
フロースパインとファイバー結び目に関する研究については，フロースパインに対して接触胞体分割を構成することでファイバー結び目を構成する方針を模索したが，接触ベクトル場の設定の仕方に問題があり，具体的な結果は得られていない．また，クラックに関しても，考案した方法ではベクトル場の設定に問題点が多く存在することがわかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
今回の構成で得られた捻れスパン結び目のシャドウに対し，シャドウ複雑度の具体的な評価を与える．シャドウ複雑度が1の2次元結び目について研究し，非自明な結び目の最小シャドウ複雑度を決定し，これらの内容をまとめ論文執筆を行う．また，フロースパインについては再度具体例を中心に考察を深め，フロースパインの近傍の各ブロックに入れる接触構造をより詳しく記述することで接触胞体分割の構成を完成させる．さらに，シャドウの立場でも，分岐構造を用いた接触構造およびシンプレクティック構造に関する研究を行う予定である．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症拡大防止のために国内外の出張が中止になったため次年度使用額が生じた．今後再開する研究集会・シンポジウムには積極的に参加するとともに，研究環境の整備費用に当てる．
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