2021 Fiscal Year Research-status Report
シャドウによる3次元・4次元多様体の幾何構造の研究
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20K14316
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
直江 央寛 中央大学, 理工学部, 助教 (10823255)
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2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 4次元多様体 / シャドウ / 2次元結び目 / シャドウ複雑度 / バンド付き絡み目表示 / 低次元トポロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
閉4次多様体に局所平坦に埋め込まれた単純多面体の補空間が1-ハンドル体であったとき，この多面体を閉4次元多様体のシャドウという．また，4次元球面に埋め込まれた2次元球面を2次元結び目といい，2次元結び目のシャドウは，その2次元結び目を部分曲面として含むような4次元球面のシャドウとして定義される．今年度も昨年度に引き続き，2次元結び目のシャドウ複雑度に関する研究を行った．複雑度1の場合で現れる多面体を調べ上げ，多面体を分解した際に重要となる部分多面体の基本群の表示を与えた．それらの表示からシャドウ複雑度1の2次元結び目のシャドウとして現れ得る多面体を絞り込んだ．また，連結和分解と圧縮円板の接着という操作で2次元結び目が変わらないこと，そしてシャドウの基本操作を組み合わせることで多面体のある種の簡約化を行い，整数1つのパラメータで表示される族に尽きることが示せた．さらに，それらのAlexander多項式が異なることから，シャドウ複雑度1の2次元結び目に対する完全な分類を与えることができた．
2次元結び目の表示として，バンド付き絡み目表示と呼ばれるものがある．このバンド付き絡み目表示をもとにシャドウを構成する方法を考案した．このことは2次元結び目のシャドウの存在性定理の別証明を与えたとも言える．このバンド付き絡み目表示から得られるシャドウを用いることで，例えば，(2, 2n+1)型トーラス結び目の捻れスパン結び目のシャドウ複雑度が 4n+1 以下であることが分かる．また，逆にシャドウから（一般化された）バンド付き絡み目表示を構成する方法も得られた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度の時点ではシャドウ複雑度1の非自明な2次元結び目は存在しないと予想していたが，そこで得られていた結び目群の表示の修正を行ったところ，シャドウ複雑度1で非自明な2次元結び目が存在し得ることに気がついた．シャドウ複雑度が最も小さい非自明な2次元結び目を見つけただけでなく，それらをすべて分類したことは当初の想定よりも大きな成果が得られたと言える．これらについては現在論文を執筆中だが，主定理の証明にあたって多くの補題が必要となり，その再検討を行っていたために論文の執筆に時間がかかっている．
また，シャドウはそれ自体での扱いが非常に複雑で困難な場合もあるため，他の扱いやすい表示との行き来が可能となると研究の広がりが期待できる．したがって，今回のバンド付き絡み目表示の構成はそういった側面でも意義があると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き2次元結び目のシャドウに関する論文執筆を行い，投稿を行う．また，今年度着手できなかったフロースパインに関する研究を再開し，tight 性の判定，とくに接触胞体分割について考察を進める．また，シャドウによるシンプレクティック構造の研究，トライセクションに由来する諸概念（トライセクション種数，橋トライセクション，L不変量など）に関する研究を進める．
関連分野の研究者と行っているオンラインセミナーを継続し，さらに今年度は対面式で開催される研究集会等もあるため，研究発表および意見交換を行う予定である．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症拡大防止のために国内外の出張が中止になったため次年度使用額が生じた．今後再開する研究集会・シンポジウムには積極的に参加するとともに，研究環境の整備費用に当てる.
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