2020 Fiscal Year Research-status Report
有限生成群のなす空間上における増大度およびスペクトル半径の連続性の研究
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20K14318
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
雪田 友成 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 助教 (80843903)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | コクセター群 / 標識付き群 / 増大度 / 幾何学的群論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限生成群Gとその有限生成系Sの組(G, S)の全体にGrigorchukにより距離が定められ、これを標識付き群の空間という。本研究は、有限生成群Gとしてコクセター群を考え、その生成系としてコクセター生成系と呼ばれるものを取り、これらの全体をコクセター群の空間と定め位相的性質および幾何群論的性質の研究を行うものである。
本年度はコクセター群の空間の位相的性質と増大度の性質に関する研究を行った。具体的には以下のことを明らかにした。
（１） コクセター群とコクセター生成系の組(G, S)に対して、コクセター行列と呼ばれる2以上の自然数または∞を成分とする対称行列およびコクセター図と呼ばれる辺ラベル付きグラフが対応する。このとき、コクセター群の列が収束する必要十分条件をコクセター行列とコクセター図の言葉で明らかにした。また、位数２の元で生成される群がコクセター群となるための必要十分条件である消去条件を用いてコクセター群の空間が標識付き群の空間においてコンパクトであることを明らかにした。このことから、コクセター群の列の標識付き群としての極限がコクセター群となることがしたがう。
（２） 増大度はコクセター群の空間上の関数として連続であることを示した。この結果は２または３次元双曲離散鏡映群に対するFloydとKolpakovによる増大度の収束定理を一般化したものになっている。証明は増大度関数の列が複素平面内の適当な領域上で広義一様収束することを示すことで、増大度に対応する零点もまた収束することを導く。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の動機は双曲離散鏡映群に対して知られていたFloydとKolpakovによる結果にあり、彼らの結果を拡張した結果を得られた点では当初の予想より進展したものと言える。一方で、証明の手法においてはコクセター群の増大度関数に関するSteinbergの公式に大きく依存しており、例えばArtin群などより広いクラスの群に対しての応用の目処が立っていないという点は解決すべき点である。
また、コクセター群の空間は標識付き群の空間においてコンパクトであることなどが分かったが、当初の目的である双曲鏡映群の全体の位相的性質など幾何学的なコクセター群に関する位相的性質は未だ明らかにできていない部分がある。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究では主として次の２つを行う予定である。
（１） 双曲離散鏡映群として実現されるコクセター群の全体の位相的性質を明らかにする。特に、境界に現れる双曲離散鏡映群の幾何学的性質（例えばSO(n, 1)表現の剛性）などの研究を行う。
（２） コクセター群のコクセター生成系に関するランダムウォークについて、エントロピー、スペクトル半径などの量についての研究を行う。特に連続性や制限をつけた上での最小、最大を実現するコクセター群が存在するかなどの研究を行う。
（２）に関しては2次元双曲離散鏡映群の一部のクラスに対しては、数値実験によりスペクトル半径の連続性を確認できていることから、スペクトル半径は連続関数であることが期待できる。
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| Causes of Carryover |
当初の予定では夏、冬、春における海外出張および国内集会等への参加のために主に経費を使用する予定であったが、コロナウィルスの影響があり海外渡航が出来なくなり、また様々な研究集会が延期または中止となったため次年度使用額が生じた。
次年度に繰り越した分については、海外渡航もしくは国内での移動が可能になった場合にはそれらに用いる。また、そうでない場合にはコクセター群の種々の量を計算するための計算機（Magma等）の購入に充当する予定である。
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