Towards a deeper understanding of K-stability

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K14321
• Research Institution: Tokyo University of Science
• Principal Investigator: 齋藤 俊輔 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 助教 (10846752)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 強K安定性 / 漸近的Chow安定性 / 一様K安定性

Outline of Annual Research Achievements

ケーラー幾何の中心的な問題である「標準ケーラー計量の存在問題」と関連して、偏極代数多様体の幾何学的不変式論の意味での安定性がいくつか提案されている。本研究の目的の一つは、複数あるK安定性の強化概念や漸近的チャウ安定性などの相互関係を明確に理解することである。今年度は漸近的チャウ安定性や満渕によって導入された強K安定性に関して研究を行い次の研究成果を得た。
満渕-新田によって証明された「偏極代数多様体の強K安定性は漸近的チャウ安定性を導く」という定理の証明を再検討することによって、もっと強く「偏極代数多様体の強K安定性は"一様漸近的チャウ安定性"を導く」を示すことができた。ここで一様漸近的チャウ安定性は一様K安定性を参考に漸近的チャウ安定性を強めた概念である。一様チャウ安定性は「チャウウェイトがL1ノルム（あるいは非アルキメデス的J汎関数の有限次元版）の正の定数倍で下から一様に抑えられる」として定義することができるが、この正の定数がレベル(つまり偏極のテンソル冪)によらずに一様に取れることとして一様漸近的チャウ安定性を定義する。チャウウェイトの極限がドナルドソン・二木不変量であることから、一様漸近的チャウ安定性は一様K安定性を導く。よってこの成果の系として「偏極代数多様体の強K安定性は一様K安定性を導く」を得ることができた。これはK安定性の2つの強化概念である強K安定性と一様K安定性の関係を述べたものである。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

K安定性の強化概念の中でも強K安定性は特に理解が深まっていなかったと思われるため、今年度はある程度の進展があったといえる。一方で、今回の成果を相対安定性の場合まで一般化できていない点からやや遅れていると判断した。

Strategy for Future Research Activity

・今年度の成果の相対版である「偏極代数多様体の強相対K安定性は一様漸近的相対チャウ安定性を導く」を正しい形で証明したい。そのためには相対チャウ安定性の定義を再検討する。また準安定な場合へも拡張することを目標とする。
・強K安定性と一様漸近的チャウ安定性の関係をより深く理解したい。そのために一様漸近的チャウ安定性とスカラー曲率一定ケーラー計量やケーラーアインシュタイン計量の関係について調べる。特にKエネルギーや丁汎関数の強圧性と平衡化エネルギーのそれとの間の関係について研究を行う。

Causes of Carryover

新型コロナウイルス感染症 (COVID-19) の世界的流行によって国内外の研究集会・シンポジウムや他研究者との打ち合わせは中止ないしはオンラインにて行うこととなった。そのため旅費として支出する予定だった分の経費がそのまま残り未使用金が生じた。

他研究者との研究討論や、国内外のセミナー・研究集会での情報収集・研究発表を行う予定であるが、今年度も国内外への出張が困難な状況が継続すると思われるので、オンラインでの議論や講演を円滑に行えるようにタブレット端末を購入する予定である。