2023 Fiscal Year Annual Research Report
Towards a deeper understanding of K-stability
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20K14321
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
齋藤 俊輔 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 助教 (10846752)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Fano多様体 / 満渕定数 / Calabi夢多様体 / 相対安定性 / K安定性 / 超平面切断 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ケーラー幾何の中心的な問題である「標準ケーラー計量の存在問題」と関連して、偏極代数多様体の幾何学的不変式論の意味での安定性がいくつか提案されている。本研究の目的の一つは、複数あるK安定性の強化概念や漸近的Chow安定性などの相互関係を明確に理解することである。今年度は具体的なFano多様体の安定性に関して研究を行い、次の研究成果を得た。
（1）Q-Fano多様体の満渕定数に関して新田泰文氏と研究を行い、満渕定数が直積に対して加法的であることを証明した。応用として、すべてのケーラー類に端的ケーラー計量を許容する(すなわちすべての偏極について一様相対K安定である)相対Ding不安定なトーリックFano多様体が3以上のすべての次元に存在することを証明した。この結果は一様相対K安定性と一様相対Ding安定性の差異を明確にするものである。この内容をまとめた論文"Examples of relatively Ding unstable Calabi dream manifolds"がProc. Amer. Math. Soc.から出版された。
(2)2つの射影空間の直積内のFano超曲面に対して二木不変量を具体的に計算した。これを用いて双次数(1, 1)の正規超曲面(すなわちSegre多様体の正規超平面切断)の反標準偏極に関するK安定性を完全に決定した。結論は次の通り：(a)2つの射影空間の次元が等しくかつ超平面切断が非特異であるときK準安定である(b)それ以外の場合はすべてK不安定である。超平面切断が非特異な場合、(b)は埴野によって類似の結果が証明されている。今回の結果は超平面切断が非特異である必要がない点とK不安定性を直接証明している点で埴野のものとは異なっており、いわば代数幾何的な拡張になっている。また(b)の場合、超平面切断の端的ケーラーベクトル場が0でないことがわかるため相対K安定性や相対Ding安定性について議論する余地があることが判明した。
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