2021 Fiscal Year Research-status Report
harmonic analysis on homogeneous spaces and the method of coadjoint orbit
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20K14325
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
大島 芳樹 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (10746936)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Lie群 / 表現論 / 調和解析 / 等質空間 / 余随伴軌道 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
簡約群Gとその閉部分群Hから定まる等質空間G/Hに対して、G/HがG不変測度をもつとき「L^2(G/H)の既約表現への分解に寄与するGの既約ユニタリ表現の集合が、漸近的にG/Hの余接束からGのLie環の双対空間への運動量写像の像により記述される」という結果をプレプリントとして発表し(Benjamin Harris氏と共著)、現在雑誌に投稿中である。この結果の証明には、普遍包絡環の零化イデアルを用いたL^2関数の既約分解に寄与する表現の代数的制約、半単純軌道の量子化として得られる既約ユニタリ表現の直積分の波面集合の記述を用いた。
また前年度に行った運動量写像の像についての一般的考察に基づき、いくつかの具体例について運動量写像の像を計算した。ひとつの例は G=Sp(n,R), H=Sp(m,R)xSp(k,Z) であり、計算結果から任意のn,m,kに対して、n>mならば離散系列表現が無限に存在することが示された。もうひとつの例は、不定値直交群 G=O(p,q), H=O(p_1,q_1)x...xO(p_k,q_k) である。この場合には、まずO(p,q)とO(p,q-1)の間の半単純軌道の誘導や制限を具体的な行列の固有値の計算に帰着し、その計算をもとにしてG/Hの運動量写像の像を計算を行い、G/Hに離散系列表現が存在するための十分条件を具体的に求めた。この十分条件は必要条件にもなっていることを予想している。実際、Benoist-Kobayashiによる緩増加性とO(p,q)の緩増加表現の記述を用いてgenericなパラメータを含む多くの場合に必要条件になっていることを確かめた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2021年度は一般の等質空間Xに対するPlancherel測度の台の漸近錐とXの余接空間の運動量写像による像との関係を明らかにした結果を50ページ余りのプレプリントとして発表した。ここで用いた議論として、普遍包絡環の零化イデアルを用いたL^2関数の既約分解に寄与する表現の代数的制約、半単純軌道の量子化として得られる既約表現の直積分の波面集合の記述がある。これらの議論は、一般のユニタリ表現からの誘導、あるいはユニタリ表現の制限に対しても利用できる部分があり、目標としていた表現の誘導や制限についての情報を得るための重要なステップになると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
2021年度までに得られた結果を用いて、より一般のユニタリ表現の誘導や制限に対して余随伴軌道の対応する幾何学的操作との関連を調べる。そのためには2020年度に行った運動量写像の像に対する考察をより一般の設定で拡張する必要があるため、まずはその拡張を行う。それをもとに、普遍包絡環の零化イデアルを用いたL^2関数の既約分解に寄与する表現の代数的制約、半単純軌道の量子化として得られる既約表現の直積分の波面集合の記述も一般の設定に拡張して、目標としていたユニタリ表現の誘導や制限の余随伴軌道の幾何を用いた記述を行う。研究遂行のために研究集会に参加して情報交換を行う。得られた結果を論文として発表し、また研究集会でも研究発表を行う。
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| Causes of Carryover |
2021年度も前年度に続きコロナウイルスの影響により、予定されていた関連分野の研究集会、研究打ち合わせが延期またはオンライン開催となったため旅費を使用しなかった。
次年度は対面での研究集会が予定されており、情報交換のために参加する。以前から予定されていた物品費、旅費の使用に加えて、延期となった研究集会の参加ため助成金を使う予定である。
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