2020 Fiscal Year Research-status Report
Spectral theory for unitary operators and its applications to scattering theory
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20K14327
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
森岡 悠 愛媛大学, 理工学研究科(工学系), 講師 (80726597)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 関数解析学 / 散乱理論 / 関数方程式論 / スペクトル理論 / 量子ウォーク |
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| Outline of Annual Research Achievements |
量子力学に関連する数理モデル、特にシュレーディンガー方程式と量子ウォークに対する時間定常的な散乱理論では、要所にユニタリ作用素が現れる。散乱波に含まれる散乱行列は、あるコンパクト多様体上のヒルベルト空間におけるユニタリ作用素である。離散時間量子ウォークの時間発展作用素は、シフト作用ととコイン作用素からなるユニタリ作用素で記述される。いずれの場合も、散乱理論の立場から、ユニタリ作用素のスペクトルの構造を明らかにすることを目的として研究を進める。今年度は、量子ウォークの研究に関して以下の成果を得た。
(1) 有限なランクの空間的摂動を持つ1次元2状態量子ウォークに対し、組み合わせ論的に散乱行列の明示公式を与える方法を示した。この公式は、量子ウォーカーの時間発展を関係付けられ、摂動の内部で反射と透過を繰り返す量子ウォーカーが辿るパスを数え上げることに対応している。これは、量子力学で知られている経路積分の離散的なアナロジーの一つとみなすことができる。また、二重障壁型モデルでの共鳴トンネル効果を正確に記述することができた。
(2) 有限な領域に摂動を持つ多次元量子ウォークに対し、時間定常的な散乱理論を構築した。特に、時間発展作用素に対する一般化固有関数を記述し、アグモン-ヘルマンダー型のバナッハ空間対を用いて特徴付けを行った。量子ウォークの場合には、各カイラリティ毎にシフトが偏っているため、特徴付けに用いるバナッハ空間を定義するための空間的な重み付けに非等方性が生じる。本研究では、この非等方なアグモン-ヘルマンダー型空間を定義し、各種の基本的な性質を示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
量子ウォークに関する研究は概ね想定通りに進んでいる。
もう一つの大きなテーマであるシュレーディンガー方程式に対する散乱行列の研究は、現時点で準備的な考察にとどまっており、やや遅れている。これは、当初の計画段階では予期していなかったこととして、共鳴極と共鳴トンネル効果（あるいは散乱行列が固有値１を持つ状況）が関係している可能性があることが量子ウォークの研究や他の研究者からの助言を通じて分かってきたことで、それに関して予備的な研究を追加したためである。
研究計画全体を通じて、令和２年度は新型コロナウィルス感染拡大の影響で、情報収集や研究遂行のための打ち合わせや研究成果発表の場が著しく制限された状況にあり、このために研究の遂行と成果発表がやや遅れている。
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| Strategy for Future Research Activity |
量子ウォークの散乱理論に関しては、これまで得られた知見を契機として、様々な研究対象が新たに示唆されている。定常散乱理論をある程度きちんと整備できたことで、量子ウォークに対する共鳴極の研究への展開ができる可能性がある。また、量子ウォークに対する共鳴トンネル効果は、想定するモデルによって多様な現象がみられる。これらのことを明らかにする。シュレーディンガー方程式の散乱理論に関しては、散乱行列の固有値と共鳴極の定性的または定量的な関係性について、何らかの形で明らかにしたい。量子ウォークの研究を通じて、この点について具体的な例が得られており、この情報を足掛かりにして研究を進める。
令和３年度も、新型コロナウィルス感染拡大に伴う各種の混乱が予想されるため、研究成果発表に関してはオンライン環境を活用しつつ、基本的な研究の遂行に努める。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス感染拡大に伴い、学会や研究集会が中止、延期、またはオンラインでの開催となり、感染防止の観点から、対面での研究打ち合わせも全て中止した。そのため、研究成果発表を行うために計画していた旅費を使用することができなかった。
翌年度に関しても、同様の計画変更が予想されるため、研究資料の収集を中心として経費を使用する計画である。
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