2022 Fiscal Year Research-status Report
Spectral theory for unitary operators and its applications to scattering theory
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20K14327
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
森岡 悠 愛媛大学, 理工学研究科(工学系), 准教授 (80726597)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 関数解析学 / 散乱理論 / 関数方程式論 / スペクトル理論 / 量子ウォーク |
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| Outline of Annual Research Achievements |
量子力学に関連する数理モデル、特にシュレーディンガー方程式と量子ウォークに対する時間定常的な散乱理論では、要所にユニタリ作用素が現れる。散乱波に含まれる散乱行列は、あるコンパクト多様体上のヒルベルト空間におけるユニタリ作用素である。離散時間量子ウォークの時間発展作用素は、シフト作用ととコイン作用素からなるユニタリ作用素で記述される。いずれの場合も、散乱理論の立場から、ユニタリ作用素のスペクトルの構造を明らかにすることを目的として研究を進める。今年度は、量子ウォークの研究に関して以下の成果を得た。
(1)ある特殊な多次元量子ウォークを用いて、ハミルトン系に従う古典力学的粒子がなす軌道の類似物を定義した。これにより、閉軌道を持つ量子ウォークは必ず固有値を持つことを確認した。これはボーア-ゾンマーフェルトの量子化条件に対応するものとみることができる。さらに、閉軌道に対して摂動を行うことにより、閉軌道に由来する固有値であったものが共鳴極へと連続的に移行することを確認した。より一般に、非透過可能な障壁によって完全な閉じ込めが生じる量子ウォークに対する摂動を用いて、元の系の固有値の近傍に共鳴極が現れることを示した。
(2)有限な範囲で摂動を持つ量子ウォークの定常状態に対し、その摂動中に残留する状態が実際にどの位置に分布するのかを一定の条件下で詳しく調べた。その結果、状態が持つ擬エネルギーが摂動中の連続スペクトルの(i)内点かつその中心付近、(ii)内点かつ端点付近、(iii)端点、(iv)外部の4つの場合で大きく挙動が分かれることが明らかになった。物理的には、(i)高エネルギー、(ii)低エネルギー、(iii)閾値、(iv)ポテンシャル障壁を越えるトンネル効果に相当し、直観を裏付ける結果となっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
量子ウォークのスペクトル・散乱理論と関連する話題に関しては、研究遂行の流れの中で共同研究となったものを含めて、令和4年度は予想以上の知見を得ることができた。特に、量子ウォークに関する固有値問題の枠組みの延長として、共鳴極の研究への展開において大きな収穫があった。シュレーディンガー方程式の非散乱エネルギーの研究に関しては、準古典解析の手法と共鳴極に関する研究と深く関わることを理解しつつある。この方面は膨大な研究の蓄積があり、情報収集に時間を要する状況であったのだが、前述の量子ウォークの研究において、偶然にも類似の状況に遭遇しており、この研究を通じて準古典解析に対する基本的な理解を深めつつあるところである。以上のことから、令和3年度までの新型コロナウィルス感染症対策による研究の遅れを徐々に挽回しつつあるところである。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和4年度までに得られた量子ウォークのスペクトル理論および共鳴極の結果について、準古典解析の観点でどのようにとらえることができるのかを明確にする。シュレーディンガー方程式に対する準古典解析および超局所解析の類似物と思われる内容も得られつつあるので、これらの対象について、より理解を深める。
令和5年度は本研究計画の最終年度であるため、これまでの成果について、論文による公表と、学会等での発表を推進する。
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| Causes of Carryover |
令和4年度は概ね順調に研究計画を遂行したが、新型コロナウィルス対策に伴う令和2年度および3年度の大幅な予算執行遅れを完全に挽回するには至らなかった。令和5年度は、最終年度として研究を遂行し、成果発表を推進する。加えて、国際会議「10th International Congress on Industrial and Applied Mathematics」が予定されており、ここで量子ウォークに関するミニシンポジウムを組織する計画であるため、本研究計画の一環として予算を使用する。
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