Green関数を用いた単純ランダムウォークの非交叉確率の解析

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K14329
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 岡田 いず海 九州大学, 数理学研究院, 助教 (40795605)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 単純ランダムウォーク / ブラウン運動 / 局所時間

Outline of Annual Research Achievements

多次元整数格子上の単純ランダムウォークについて、到達確率あるいは局所時間の評価を進めた。局所時間とは単純ランダムウォークが各点に滞在する累積時間に相当する。研究代表者は、これまで確定的な多点(任意個数の点)に対しての到達確率を研究したのに対し、点をランダムにした場合の解析を行った。より具体的には、単純ランダムウォークの軌跡を領域としたときのcapacity(容量)に関して、時間無限大の極限定理の研究を進めている。
また、Feynman-Kacの公式をふまえ、熱方程式からのアプローチを進めている。具体的には、柳田氏(東工大)との共同研究において、Hardy-typeのポテンシャル項に非整数ブラウン運動の動きをする動的特異点をつけた３次元以上の熱方程式について、解の存在・非存在に関する必要十分条件を与えた。この方程式はブラウン運動の衝突確率と関係性をもつことがわかっており、ポテンシャル項を変えたときに到達確率と対応していることを予測している。得られた必要十分条件は、ポテンシャル項の指数オーダーと非整数ブラウン運動のハースト指数によって特徴づけられた。研究代表者は、Feynman-Kacの公式を用いた確率論的なアプローチをとり、主定理の証明に貢献した。詳細には、非整数ブラウン運動の局所時間の大偏差原理の評価が必要となり、これを求めた。現在は、柳田氏とDirac-typeのポテンシャル項に非整数ブラウン運動の動きをする動的特異点をつけた熱方程式解の存在・非存在の必要十分条件について解析中である。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

新型コロナウイルスの影響で国内出張と海外出張が予想よりできず、共同研究者とあまり研究打ち合わせができなかったため。

Strategy for Future Research Activity

引き続き多次元単純ランダムウォークのcapacityの極限定理について研究を進める。capacityと単純ランダムウォークの軌跡の関係を解析をするため、Green関数とcapacityの関係性に着目する。

Causes of Carryover

新型コロナウイルスの影響で出張に行く機会が減ったため。