Green関数を用いた単純ランダムウォークの非交叉確率の解析

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K14329
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 岡田 いず海 九州大学, 数理学研究院, 助教 (40795605)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 単純ランダムウォーク / ブラウン運動

Outline of Annual Research Achievements

多次元整数格子上の単純ランダムウォークについて、到達確率あるいは局所時間の評価を進めた。局所時間とは単純ランダムウォークが各点に滞在する累積時間に相当する。研究代表者は、これまで確定的な多点(任意個数の点)に対しての到達確率を研究したのに対し、点をランダムにした場合の解析を行った。より具体的には、単純ランダムウォークの軌跡を領域としたときのcapacity(容量)に関して、時間無限大の極限定理の研究を進めている。
具体的には共同研究者であるAmir Dembo氏(Stanford大学)と単純ランダムウォークの軌跡を領域としたときのcapacityの3次元以上の場合の重複対数の法則について研究を進めた。次元dが4以上の場合はd-2次元の単純ランダムウォークのvolumeの重複対数の法則と同じオーダーであることがわかった。一方、3次元の場合は、1次元の単純ランダムウォークのvolumeの重複対数の法則と違うオーダーになることがわかった。また、3次元の単純ランダムウォークのcapacityと1次元の単純ランダムウォークのvolumeに関する相関を求めた。今後の研究課題として、単純ランダムウォークの軌跡を領域としたときのcapacityの大偏差原理に関する評価を進め、d-2次元の単純ランダムウォークのvolumeの大偏差原理の評価と比較したいと考えている。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

Amir Dembo氏(Stanford大学)との共同研究において、Green関数とcapacityの関係性について新たな関係性が得られ、単純ランダムウォークの軌跡を領域としたときのcapacityの極限定理に関する新たな手法が構築できたため。

Strategy for Future Research Activity

今後は単純ランダムウォークの軌跡を領域としたときのcapacityの大偏差原理等の極限定理について解析を進める。より詳細なGreen関数とcapacityの関係性に着目する。

Causes of Carryover

研究遂行のため、2023年度にも海外出張を行うため。