2020 Fiscal Year Research-status Report
Analysis on reproducing kernel Hilbert spaces
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20K14334
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| Research Institution | Daido University |
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Principal Investigator |
田中 清喜 大同大学, 教養部, 講師 (00711491)
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2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Toeplitz 作用素 / 多調和函数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究においては，多調和函数の成す再生核ヒルベルト空間を研究対象とし一般論の構築を目指している．2020年度は多調和 Bergman 空間上の Toeplitz 作用素の特徴づけを行った．研究実施計画においては2020年度は空間の重み，領域について掘り下げる研究を予定していたが，想定していたより Almanzi 分解の形と重みの形が一致している必要があることがわかった．そのため現状の準備している状況で2年目に予定していた多調和 Bergman 空間における Toeplitz 作用素の特徴づけ問題を扱った．
Bergman 空間上の作用素の特徴づけは Axler'86 による歪正則函数をシンボルとする Hankel 作用素の有界性の特徴づけと Zhu '88 による平均函数とBerezin 函数を用いた Toeplitz 作用素の有界性の特徴づけがある．これらにはある種対応が見られているが，これらの結果のそれぞれ独立に拡張がなされているが拡張された結果たちは対応がある形ではない．Pau-Zhao-Zhu'16の歪正則函数をシンボルとする Hankel 作用素の有界性の特徴づけに対応した形で Toeplitz 作用素の有界性を平均函数の境界挙動によって特徴づけを与えた．重要な点はこの結果は考えている空間のある種の劣調和性と再生核の評価による部分がほとんどであり，一般化するにあたって障害になる特殊な条件をはそこまで見えなかったため，研究目標である一般論の足掛かりになることを期待している．
この結果については2020年度に1回発表を行った．また，2021年度にも発表予定で，現在論文執筆中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究においては2020年度においては多調和 Bergman 空間の研究として重み，領域について着目しての研究を行う予定であった．ただ，重みと領域を拡張することには大きな障害があり論文の形になる結果は得られなかった．単位円板上の正則 Bergman 空間と同様の explicit に完全正規直交系を構成する点では Almanzi 分解に現れる距離と重みを一致させなければ核が構成できず拡張できなかった点が大きい．
ただ，その状況ではあるが多調和 Bergman 空間上の Toeplitz 作用素の解析には影響がなく Toeplitz 作用素の特徴づけ問題を一般的に拡張できうる形で与えることに成功した．この結果から2021年度の計画通りに作用素の研究を続けるうえで2020年度の研究計画の通りに進んでいないことがあまり影響しないことも推察される．その点では着実に進展はしている．
ただ，率直に述べれば進歩状況は良くないことは確かである．2020年度に行う予定であった研究は2021年度の研究計画内容に影響があまりなさそうなことは良い点である．しかし，その次以降の計画では考えている空間の重みを変える研究は必要であると想定しているため，遅れを取り戻す期間があるとはいえ遅れていることは確かであろう．
まとめると，当初計画していた研究は遅れている，現状の準備段階で今後の研究を進めることができるかについては可能であり部分的に成果が出た，という状況である．
問題を先延ばしにした部分が大いにあり，2021年度の研究においては問題がなさそうということで区分を「(3)ややおくれている。」と判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
前述の研究実績の概要，現在までの進歩状況でも述べたが，本研究課題は遅れている．2020年度の研究計画通りには進んでいないが，部分的に挙げられた成果により，研究計画として大きく変更する必要はない状況である．
今後の研究推進方策として，ほとんどは当初の研究計画通りに多調和 Bergman 空間上の作用素解析，特に Hankel 作用素の有界性の特徴づけ問題を解決することを目指す．また，コンパクト性，Schatten 族に属するための条件付けについても考察する．
変更するべき点としては，2020年度に解決しなかった重みを変えた多調和 Bergman 空間の解析であり，2021年度の後半から再び着手する．また，この問題は研究計画当初に想定していたより難しいか解決しない問題であるかもしれない．その時はその点が解決していない状況で2022年度に予定している研究計画が遂行できるように， Fock 型空間の情報収集に力を入れるように計画している．
多調和 Bergman 空間の重みを変える研究としては，Pavlovic とその周辺の研究者たちが quasi-nearly subharmonic 関数のなす normal weight を持つ空間に対して多くの論文を書いており，その研究を足掛かりに進めるように計画している．いきなり一般論の normal weight と設定して進めることは昨年度の研究進歩状況上は難しく考えており，特別な例を構成するところからはじめ，本質的な条件を見極める材料にしたい．
昨年度はコロナ禍であったため研究発表の場がかなり限られていたが，今年度はweb研究集会のノウハウが確立されてきており，発表の場に関しては地理にとらわれず機会が増えるように考えている．これらの研究を国内外問わず発信していくことで研究を深めるように計画している．
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| Causes of Carryover |
2020年度はコロナ禍により計画していた研究集会，学会，勉強会を集まって行うことができなかった．そのため，2020年度に使用する予定であった旅費のほとんどを使用せず，研究の資料として本の購入するために助成費を使用するにとどまった．
2021年度以降はその状況が改善され，研究集会が活発に行われることも期待しており，繰り越している形である．特に海外研究集会での交流はこの研究に欠かせないため，その費用として計上している．
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