2021 Fiscal Year Research-status Report
Study on blowup phenomena for Shcr\"odinger equations with non-gauge invariant power type nonlinearities
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20K14337
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
藤原 和将 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 助教 (40868262)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 分数階微分作用素 / 臨界尺度 / 爆発解析 / 半波動方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和３年度の研究では，分数階の微分作用素を伴う半波動方程式に対して，臨界尺度に於ける解の爆発現象を示した．熱方程式や消散型波動方程式の様に古典的な微分作用素のみを伴う初期値問題に対しては，方程式の伸縮構造の観点から時間大域解が存在しない事が知られている．特に，古典的な微分作用素に対する積の微分法則が，大域解の不在証明に於いては技術的な要点である．一方で，分数階微分作用素を伴う場合，古典的な微分作用素と異なり，関数の積の導関数を夫々の関数の導関数で各点で書き下す事は一般にできない．令和３年度の研究では，多項式程度に減衰する試験関数に対して，分数階導関数の各点での挙動を調べる事で，臨界尺度に於ける解の爆発現象を証明した．前年度までの研究では，既に分数階導関数の無限遠方に対する減衰度合いの評価を得ていた．一方で臨界尺度に於いては，分数階導関数の原点での挙動をより詳しく調べる必要があった．令和３年度の研究では，２つの試験関数の差分に対する分数階導関数に着目する事で，原点での分数階微係数を制御した．加えて，試験関数の古典的な導関数も応用する事で，原点での分数階導関数の減衰の度合いを評価した．以上の分数階導関数の概形の研究を，既存の汎関数を用いた爆発解析と組み合わせる事で，解の爆発現象を証明した．
この研究は半波動方程式に限らず，構造消散型波動方程式や分数階微分作用素を伴う方程式に応用する事が容易であり，これまでの伸縮構造に基づく爆発解析を進展させるものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
分数階微分作用素を伴った臨界尺度に於ける爆発解析の研究は，想定以上の進展があった．絶対値冪乗型の非線型項を伴い，分数階の微分作用素を伴わない方程式に対して，臨界尺度に於ける爆発解析の汎用的な手法は最近，池田-側島によって示された．特に，臨界尺度に於いては劣臨界尺度の場合に比べて複雑な汎関数に着目して爆発解析を行う必要がある．これは，劣臨界尺度に於いて非線型効果が平滑化・分散効果に対して優位であるのに対して，臨界尺度ではその優位性が弱まるからである．臨界尺度に於ける非線型効果の影響を抽出する為の汎関数の設計には，試験関数の導関数に対する各点での評価がより多く要求される為，分数階微分作用素を伴う場合の設計には時間が掛かると考えていた．一方で，これまでの研究に基づく分数階導関数の各点評価に対する進展が令和３年度に想定以上にあった為，一般的な形で解の爆発現象を示す事ができた．
一方で，企画していた多次元に於けるシュレディンガー方程式の爆発解析に就いては，想定された進展がなかった．令和３年度の研究では多次元の周期境界条件の下で，絶対値冪乗型の非線型を伴うシュレディンガー方程式の爆発解析も予定した．令和３年度の研究により，２次元の場合は１次元の場合と異なり，非共鳴部のみに着目した方程式系に於いても，初期値によっては解が大域的に存在する事が判明した．しかし，共鳴部を加味した場合の解の時間大域的な挙動を記述するには未だ至らず，想定した研究成果に及ばなかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究では，シュレディンガー方程式の爆発解析の研究の継続と，消散型波動方程式の爆発解析の研究を行う．
シュレディンガー方程式の研究では，２次元の周期境界条件の下で，絶対値冪乗型の非線型項を伴った場合に，解が有限時刻で爆発する為の初期条件の精密化の研究を継続する．１次元の場合，非共鳴部に着目する事で，定数を除いた全ての初期状態に対して，解が有限時刻で爆発する事がこれまでの研究で判明している．特に，共鳴部は非共鳴部に比べて影響が小さいという事が分かっている．一方で２次元の場合，非共鳴部に限定したシュレディンガー方程式に着目したとしても，高周波成分が指数関数的に減少する様な初期状態に対しては，解が大域的存在する事を令和３年度の研究で既に示している．然し，非共鳴部に限定した方程式に対しても，解が有限時刻で爆発する為の初期条件は精密化されていない．令和４年度の研究では，非共鳴部に限定したシュレディンガー方程式の解の爆発現象に対する初期条件の精密化を目指す．
また，シュレディンガー方程式の研究で得られた知見を下に，消散型波動方程式の解が有限時刻で爆発する為の初期条件の精密化に就いて検討する．これまでの消散型波動方程式の研究では，弱形式に着目した手法がとられており，この手法が適用できない様な初期条件の下での爆発解析は行われて来なかった．令和４年度の研究では，爆発解析を行う初期条件を拡大し，爆発現象の構造に対する理解の精密かを図る．
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| Causes of Carryover |
新型感染症の影響で，企画していた大型国際研究集会の開催ができなかった点，一昨年度に於いても同様に計画していた大型国際研究集会や海外渡航を中止・延期した為に繰越金が発生していた点の２点が大きく影響し，次年度使用額が発生した．
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Research Products
(8 results)
