2022 Fiscal Year Research-status Report
Study on blowup phenomena for Shcr\"odinger equations with non-gauge invariant power type nonlinearities
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20K14337
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
藤原 和将 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 助教 (40868262)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 消散型波動方程式 / 冪乗型自己相互作用 / 爆発解析 / 大域解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2022年度の研究では，消散型波動方程式の初期値問題の爆発解析を進展させた．特に，初期位置と初期速度が相殺する場合の爆発解析について検討した．この場合，従来の弱形式を経由する爆発解析を直接適用することはできず，周期境界条件におけるシュレディンガー方程式の場合と同様に解の振動が与える影響を検討する必要がある．2022年度の研究では，直線上の消散型波動方程式に対して，周期境界条件でのシュレディンガー方程式の様な極端な不安定性はは発生しないものの，初期位置と初期速度が相殺する場合は，自己相互作用の形状に応じて解が延長される事が判明した．特に，解の存在最大時刻は，解の連続性の観点から延長できる最長の時刻まで延長される事を示した．解の存在最大時刻が延長される理由は，対応する自由解の減衰速度が，他の場合に比べて早い事に起因する．非線形問題の解は大凡自由解の周辺で発展する摂動論の枠組みで構成する．初期位置と初期速度が相殺する場合は，自己相互作用に由来するデュアメル項の影響と自由解が拮抗する時刻において，解が初期状態に比べて小さくなる為，更にそこから通常の摂動論によって解を構成する事で，解の存在最大時刻を精密に評価する事が可能となった．一方で2022年度の研究では，リー，ツォウの議論を改良し，解が非正値を維持したまま大域的に存在する為の初期状態の条件を拡張した．特に，従来の古典解を経由した議論を回避する為に，消散型波動方程式の波動方程式への変形を積分方程式の観点から整理した．具体的には，消散型波動方程式の発展作用素の積分核を構成するベッセル関数の計算を容易にする積分変数の変換を用いる事で，初期状態の滑らかさを全く仮定することなく，リー，ツォウの議論を拡張する事ができた．また，2022年度の研究では，更に詳細な爆発解析を進展されるた為に，対応する常微分方程式の解析を進展させた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
計画に比して，進捗はやや遅れている．
消散型波動方程式の爆発解析においては，予想以上の進捗があった．特に，解の存在最大時刻の精密な評価については，より長期間の研究が必要であると予想していた．一方で，初期条件に対して着目する量を初期位置と初期速度の和のモーメントではなく，各点での挙動にしたことで，解の存在最大時刻が期待しうる最長の時刻まで延長できた．このため，予想よりも短期で精密な評価を得る事ができた．また消散型波動方程式の今後の研究で指標となる常微分方程式の解析においても，想定よりも進捗があった．予想では，解が爆発するための初期条件を条件付きで拡張できると思われていた．一方で爆発解と減衰する大域解との境界を与える解の値と速度が一対一に対応していた為，解の速度を解の値を用いた級数展開によって求める事ができた．この級数展開により，解の原点近傍での具体的な表示を与える事ができ，爆発解と大域解の境界を明確に与える事に成功した．
一方でシュレディンガー方程式の研究は，予想よりも進める事ができなかった．今年度の研究では，多次元における周期境界での解析を予定していた．特に，最近の2次元における2次の周期境界でのシュレディンガー方程式の自乗可積分空間での可解性の研究の進展を利用した爆発解析を計画していた．具体的には，最新の可解性解析で用いられているフーリエ制限空間の理論を爆発解析に転用し，従来の手法では制御不能な解の振動の制御を検討した．しかし今年度は，問題となる解のフーリエ係数の総和可能性の問題が解消できなかった為，これまでの研究で得られている爆発解析の結果の一般化には，想定よりも時間を要する．
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| Strategy for Future Research Activity |
来年度の研究では，消散型波動方程式の爆発解析と周期境界でのシュレディンガー方程式の爆発解析を継続する．
消散型波動方程式の研究では，今年度の初期条件に対する各点での条件を拡張し，モーメントに着目した爆発解析を行う．初期条件のモーメントに着目した場合，初期条件の各点に着目した場合とは異なって，解の存在最大時刻を一様に評価する事はできず，解の存在時刻の評価を決定する量を同定する必要がある．特に，初期条件に対する自由解の減衰に呼応する非線型項の可積分性は，解の存在時刻を決定する際に重要な因子となる．このため，来年度の研究では，より高次のモーメントを加味した自由解の大域解析を行い，解が摂動論の枠組みで延長できる時刻の評価を検討する．また，初期条件の0次モーメントが０である場合，従来の解の０次モーメントに着目する爆発解析を直接適用することはできない為，解の高次のモーメントの影響を加味した爆発解析を検討する．初期位置と初期速度の和が各点で相殺する場合とは異なり，解が連続性の観点から延長しうる最長の存在時刻の手前で爆発する場合は，具体的に爆発する量から同定する必要がある．この為，リー，ツォウの手法を改良して解の局所的な挙動を解析する事で，解の爆発の様相をより詳細に把握する研究を行う．
シュレディンガー方程式の研究では，多次元における爆発解析を継続する．多次元における解析では，自己相互作用の非共鳴部分が与える解への影響と，自己相互作用の振動が与える解への影響を評価する為の解のフーリエ係数の総和可能性について解明する必要がある．このうち来年度の研究では，非共鳴部分が与える解への影響について集中的に検討する．特にこれまでの研究によて，非共鳴部分を抽出した方程式を比較的解析が容易な常微分方程式系に変形できている為，この常微分方程式系の解の挙動についての詳細を検討する．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で，開催できなかった国際研究集会があった為．また予定していた研究出張ができずに，研究計画に遅延が発生した為.
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