2023 Fiscal Year Annual Research Report
Study on blowup phenomena for Shcr\"odinger equations with non-gauge invariant power type nonlinearities
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20K14337
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| Research Institution | Ryukoku University |
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Principal Investigator |
藤原 和将 龍谷大学, 先端理工学部, 准教授 (40868262)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 爆発解析 / 時間大域可解性 / 初期値問題 / 分散型方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の研究では、初期変位と初期速度が各点で相殺する場合の１次元半線型消散型波動方程式に対して、解の存在最大時刻に対する精密な評価を得た。特に、初期変位と初期速度の和に対する１次モーメントの値に着目し、１次モーメントの値に応じた非線型効果の及ぼす、解の存在最大時刻への影響を、時間局所可解性が担保される初期条件に対して完成させた。
研究期間全体を通して，半線型周期的シュレディンガー方程式と半線型消散型波動方程式において，従来の解の空間積分量に対する常微分方程式を経由した議論や, 弱形式を介した間接的な議論を見直した．そして，解が有限時刻で爆発するか，時間大域的に存在するかを判定可能な初期条件を拡張する事に成功した．特に，１次元半線型シュレディンガー方程式においては，従来加味されていなかった解の振動の影響を評価する手法を新しく導入する事によって，可積分な初期状態に対する時間大域可解性の為の必要充分条件を与えた．また，半線型消散型波動方程式の研究においては，従来の弱形式の議論で不可欠であった，初期変位と初期速度の和の積分平均に対する符号条件を見直し，解が爆発する為の初期状態の積分平均に対する条件を緩和する事に成功した．特に，従来の解析手法は摂動理論によっていたが，初期変位と初期速度が相殺する場合の解の挙動を，二段階の摂動理論によって捉える事で，この場合の解の爆発時刻を初期変位と初期速度の大きさによって精密に評価する事ができた．このように本研究を通して，爆発解析の理解を拡張させた．
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