2022 Fiscal Year Research-status Report
新たな構造の解空間を用いた運動論方程式の解の諸性質に関する研究
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20K14338
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
坂本 祥太 東京工業大学, 理学院, 助教 (10869019)
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2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ボルツマン方程式 / 解の存在と一意性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は定常状態周りの非切断Boltzmann方程式の初期値問題に関して、空間領域をEuclid空間にしてFourier変換の可積分性を基にして解析を行った。空間領域がトーラスの場合、Fourier級数が絶対総和可能な関数の集合をWiener空間と呼ぶが、この関数空間で初期値問題を考えた場合Wiener空間が自然に誘導するノルムのみ十分小さければBoltzmann方程式は一意な時間大域解をもち、解は指数または劣指数関数的に定常状態へ収束する。トーラスをEuclid空間へ変えた場合、Fourier級数が絶対総和可能という条件は自然に、関数のFourier変換が可積分であるという条件に移り変わる。しかし、この積分の値が十分小さいとしても、Euclid空間上のFourier変換の周波数分解を行う際に低周波領域からの寄与を評価することができない。この困難を解消するため、Fourier変換のp乗可積分性(p>1)の小ささも初期値に仮定して、一意時間大域解の存在と定常状態への多項式減衰を示した。この減衰レートは線形化問題の解の減衰レートと比べ任意に小さい誤差を除いて等しい。
本結果のように、初期条件のFourier変換のノルムに着目したBoltzmann方程式の研究は申請者と共同研究者の過去の研究で始められたばかりであり、この研究と合わせてトーラスとEuclid空間上における方程式の解の振る舞いの差異が明らかになった。これは通常のソボレフ空間を用いた先行研究では見られなかったものであり、初期条件に課す正則性の条件によって解空間がどのように異なるかということへの理解を与える。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
先述の結果はひな形としては以前からできていたが、計算が長大であるため読者や査読者が読みやすい論文の形にまとめるために予想外に時間をかけてしまったため。しかし、その甲斐はあって当初得られていたよりも相当に洗練された形で定理をまとめることはできた。それにより、最初の目標より格の高い雑誌へ投稿中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は解の正則性を考察するために、現在Boltzmann方程式の解のHolder評価やSchauder評価についての先行研究を調査中である。これらの評価はBoltzmann方程式を非局所方程式として扱った場合に得られるもので、現在これらの方法を用いて様々な運動論方程式の解析を行うことが盛んにおこなわれている。これらを学習し、申請者の課題へ適用したい。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍により国内外への出張が妨げられたため、助成金を使い切ることができなかった。本年度は法律上の取り扱いが変わることもありより簡便に出張できるようになることが見込まれるため、それによって長期海外出張などで助成金を使い切る予定である。
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Research Products
(7 results)
