2020 Fiscal Year Research-status Report
Study of properties of solutions to geometric higher order variational problems
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20K14341
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
三浦 達哉 東京工業大学, 理学院, 助教 (40838744)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 曲げエネルギー / Willmore エネルギー / 曲率 / 平均曲率 / 幾何学的不等式 / 変分法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は等周不等式と表面拡散流に関する Miura-Okabe の論文が Arch. Ration. Mech. Anal. に、また最適輸送に関する Miura-Otto の論文が Adv. Math. に掲載受理された。また本年度新たに行った研究は以下の通り：
１．凸曲線に対する Gage の不等式を動機づけとして、凸曲面に対する Willmore エネルギー（平均曲率の二乗の面積分）の評価を行い、特に等周比との最適なスケール関係を得た。またそこから派生して、一般閉曲面の平均曲率と直径の最適な関係に関する Topping 予想の研究も行い，軸対称単連結の場合に予想を解決した。これは最適形状を含む非凸曲面のクラスにおいて初めての結果である。論文は現在査読中。
２．上記と関連し、一般の境界付き曲面に対する直径評価を得た。この評価は Topping 予想が正しければある種の最適性を持つという点で、元の予想に関する新しい状況証拠と見なすことができる。論文は現在査読中。
３．自由弾性曲線を伴う障害物問題に対し、対称錐型障害物の高さに依存して最小解の存在・非存在が変わることは知られていたが、ここでは臨界の場合まで含めた最適な非存在範囲の決定、および存在範囲における対称解の一意性の結果を得た。証明の重要な過程として、弾性曲線に限らないより一般のクラスの平面曲線に対する polar tangential angle の単調性を示した。論文は Math. Eng. に掲載済。
４．一般次元ユークリッド空間内の曲線に対し、曲げエネルギーと多重度に関する Li-Yau 型不等式を得た。この不等式は多くの場合最適である。一方、奇数多重度を持つ平面閉曲線の場合に限り、とある代数的障害が理由で不等式が更に改良されるという興味深い事実も発見した。また弾性流やネットワークへの応用も与えた。論文は現在査読中。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究課題に着手するうちに予想されていなかった興味深い問題がいくつも浮上し、それに対し幾つかの新しい解答を得られたという点で当初の予想を超えた研究の進捗が得られているが、一方でその分当初予定していた弾性曲線の境界値問題に関する研究等の進展が遅れている。これらの理由を総合しておおむね順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究においては、研究計画に沿った弾性曲線・曲面の一意性や形状決定問題も推進しつつ、新たに浮上した直径評価の問題や多重度に関する不等式などにも積極的に取り組む予定である。
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| Causes of Carryover |
誤差により未使用分が生じたが少額のため計画に変更はない。
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