2021 Fiscal Year Research-status Report
Study of properties of solutions to geometric higher order variational problems
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20K14341
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
三浦 達哉 東京工業大学, 理学院, 准教授 (40838744)
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2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 曲げエネルギー / エラスティカ / 弾性流 / p-エラスティカ / 弾性結び目 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は凸曲面に対する Gage 型不等式と軸対称曲面に対する Topping 予想の証明に関する論文が Selecta Math. に、また Topping 予想と極小曲面の直径評価に関する論文が Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. に掲載受理された。また本年度新たに行った研究は以下の通り：
１．昨年度に得られた曲線に対する Li-Yau 型不等式の一つの直接的な帰結として、閉曲線の弾性流が「すべての時間で埋め込みとなる」ための最適なエネルギー閾値が得られる。しかしながら、より自然な問題である「初期値の埋め込み性が保存される」ため閾値については未解決であった。本年度は Marius Mueller 氏と Fabian Rupp 氏との共同研究でこの問題を解決した。この際、特に余次元が 1 か 2 以上かで閾値が大きく異なることを発見し、余次元 1 の場合の閾値を与える新しい形状を発見した。また副産物として、その解析の途中に現れる形状が 8 の字結び目クラスにおける弾性結び目として実験で得られた形状と一致することを発見した。
２．Euler の elastica は平面曲線に対して定まる曲率二乗の積分である曲げエネルギーの（ある束縛条件下での）臨界点であり、その分類は Euler 自身によってなされた。一方、曲げエネルギーの指数を p 乗にした p-elastica については、正則性の喪失や flat-core と呼ばれる特殊な解の出現など興味深い現象が知られていたが、その分類については未解決であった。本年度は吉澤研介氏との共同研究により平面 p-elastica の完全な分類を与え、明示公式や最適な正則性も得られた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
弾性流の埋め込み保存性をある意味で特徴づけるエネルギー閾値が得られたこと自体も当初の予想にないことであったが、更にその際になされた非古典的な弾性曲線の形状解析が弾性結び目の形状を求めるうえで本質的に必要であろうことが期待され、今後の展望も広がる研究となったと考えられる。
また p-elastica の分類に関しても研究開始当初はより弱い意味での分類を得ることを目標としていたが、研究の道中で適切な p-楕円関数の定義に辿り着いたことにより、古典的な elastica に関して知られていた明示公式を完全に包含する形の分類が得られた。この結果は後続の研究の基盤的な役割を果たすことが強く期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記の弾性曲線や弾性流関連の研究の進展を受けて、この方面を重点的に推進する計画である。また並行して極小曲面・弾性曲面の研究やその他周辺分野の研究も着手する予定である。
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| Causes of Carryover |
コロナによる出張計画変更のため差額が生じた。本年度の旅費に組み込む予定。
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