2020 Fiscal Year Research-status Report
Construction of new phase field methods for dynamical problems in the calculus of variations
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20K14343
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
高棹 圭介 京都大学, 理学研究科, 特定准教授 (50734472)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 平均曲率流 / フェイズフィールド法 / 幾何学的測度論 / 変分問題 / 特異極限問題 / バリフォールド / 障害物問題 / 弱解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は主に、平均曲率流方程式の障害物問題について研究した。これは、平均曲率流方程式の解である曲面が障害物の中に侵入できないという制限を課した問題である。Mercier-Novaga(2015)による先行研究では、障害物に相当する外力項を加えた外力項付き平均曲率流方程式を考察することによって、この問題に対する粘性解の存在を示した。本研究ではこれを参考にし、空間次元が2と3のときに対してBrakke flowの意味での弱解の時間大域存在を示した。証明にはフェイズフィールド法を用いた。解が障害物の中に侵入しないことを示すには障害物に対応する劣解、優解の構成が必要であるが、フェイズフィールドモデルに外力項を適切に加えることにより、簡素な劣解、優解を構成し、見通しの良い証明を与えたことがこの結果の独創的な点であるといえる。この結果は現在投稿中である。
また、本年度は体積保存平均曲率流方程式についても進展があった。フェイズフィールド法による体積保存平均曲率流方程式の弱解の存在については、2017年に研究代表者によって、空間次元が2と3のときが示されている。空間次元が4以上の場合は、研究代表者によって部分的な結果は得られていたものの、曲面に対応するRadon測度の重み関数が整数値を取るかどうかについて未解決であった。それに対して、勾配流の観点から体積保存条件を与えることにより、既存のものより評価がしやすい新しいフェイズフィールド法を得た。これにより、空間次元が4以上での幾何学的測度論による弱解の存在証明が得られる見込みである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
障害物問題や、体積保存条件を課した平均曲率流方程式に対して、適切なフェイズフィールド法を提案することに成功したため。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要で述べた、体積保存平均曲率流方程式の空間次元が4以上の場合における弱解の時間大域存在について、エネルギー評価等を精査し、証明を完成させる予定である。
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| Causes of Carryover |
当該年度は、主に学会参加等の旅費で使用する予定であったが、新型肺炎の影響により出張が出来なかったため、翌年度以降に使用することとした。翌年度は、出張が可能になれば学会参加や研究打ち合わせ等の旅費に使用予定であるが、新型肺炎の影響が長期化するのであれば、オンライン学会の参加のためのオンライン環境に使用する予定である。
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