2021 Fiscal Year Research-status Report
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20K14345
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
檜垣 充朗 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (20868202)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 非圧縮性粘性流体 / Navier-Stokes方程式 / 境界層理論 / 正則性理論 / John領域 / 解の漸近挙動 / 壁法則 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度に引き続き，Christophe Prange氏（CNRS・セルジー大学）とJinping Zhuge氏（L. E. Dickson Instructor・シカゴ大学）との共同研究として，John領域における定常Navier-Stokes方程式の境界正則性理論を考察した．John領域はKoch雪片などのフラクタル境界を持つ領域を含むクラスとして知られている．昨年度に整備した定常Stokes方程式に対する基礎理論と非線形項のCalderon-Zygmund評価を元にして，非線形問題の弱解について，large-scale Lipschitz評価，large-scale $C^{1,\gamma}$および$C^{2,\gamma}$評価を証明した．証明はArmstrong-Smart('16)，Armstrong-Shen('16)，Shen('17)を嚆矢とする定量的均質化の手法に基づく．得られた諸結果は，方程式の解の境界正則性をマルチスケールな問題として捉えた際に，たとえ境界の正則性が低い場合であっても，あるスケール以上では正則性が改善されることを意味する．また，Jinping Zhuge氏との共同研究として，周期的John領域における定常Stokes方程式を考察し，任意の次数に対して境界層補正を構成した．これは一次と二次の場合に限定されていた既存の結果を大きく拡張するものである．境界層の応用として，線形問題の弱解について，任意次数のlarge-scale正則性評価とLiouvilleの定理を証明した．後者により，定常斉次Stokes方程式の多項式増大度を持つ弱解を完全に特徴づけることができる．更に，解の漸近挙動の観点から粘性流体に対する壁法則と正則性理論との関連を明らかにし，新たに任意次数の壁法則を導出した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画調書の「問題1. 粗面領域における定常・非定常問題に対する正則性理論」に進展があったため．まず，線形/非線形定常問題の境界正則性理論を満足のいく形で完成させることができた．これはJohn領域において確立されており，当初の研究計画で想定していたLipschitz領域における正則性理論を大きく一般化するものである．また，Stokes方程式の高次境界層補正の構成は新たなアイディアに基づいている．実際，類似の手法が均質化理論において知られているものの，非常に強い整合条件を必要とするため，境界値問題に対しては適用できない．そのため，今回与えた手法は理論・応用の両面において興味深く，更なる発展が期待される．
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| Strategy for Future Research Activity |
より多角的なアプローチによって粗面領域における境界値問題の研究を推進する．具体的には，ランダム環境における境界正則性理論や弱解のlarge-scale analyticityなどに取り組む．いずれの問題も，Armstrong-Smart('16), Gloria-Neukamm-Otto ('20)やArmstrong-Kuusi-Smart('20)など，境界のない全空間の場合は均質化理論による対応する研究が見られるものの，今年度までの研究によって，境界値問題においては本質的に異なる困難が現れることが示唆されている．先行研究の整備を進めるとともに，確率論的な手法の導入も視野に入れて考察を進める．また，二次元外部領域におけるNavier-Stokes流の解析に引き続き取り組む．
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| Causes of Carryover |
昨年度と同様に，新型コロナウィルス感染症の影響により，予定していた国内外の出張が行えなかったため．慎重に状況を判断しつつ，次年度の出張旅費として使用することを予定している．
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