2021 Fiscal Year Research-status Report
Classification of stability and instability of solitary waves for nonlinear Schroedinger equations
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20K14349
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
深谷 法良 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 助教 (30849831)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 非線形シュレディンガー方程式 / 点相互作用 / 定在波解 / 基底状態 / 安定性 / 不安定性 / 微分形非線形シュレディンガー方程式 / 孤立波解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Vladimir Georgiev氏、池田正弘氏と共同で2次元における点相互作用を持つ非線形シュレディンガー方程式について研究を行った。点相互作用を持つシュレディンガー作用素のストリッカーツ評価を応用しエネルギー空間における時間局所適切性を得た。基底状態の存在・正値球対称性・単調減衰性を示し、周波数が十分小さいあるいは十分大きい定在波解の安定性・不安定性を非線形項の指数により分類した。この方程式のエネルギー空間は通常のソボレフ空間とヘルムホルツ方程式の基本解の和空間であり、エネルギー汎関数の後者からくる項の取り扱い方に新規性がある。この結果は雑誌に掲載された。
林雅行氏と共同で質量臨界構造を持つ一般化微分形非線形シュレディンガー方程式の安定と不安定の境目に現れる孤立波解の不安定性を証明した。この境目に現れる孤立波は解の時間大域存在性の証明にも関わる重要な特殊解であるが、退化の度合いが強く安定性の抽象理論が適用できない。本研究ではまず孤立波解の周りの線形化作用素のスペクトル解析を行い、強圧性について整備した。さらにMartel--Merle (2001)やFarah--Holmer--Roudenko (2019)のKdV方程式に対する局所化ヴィリアル等式を用いた手法を2パラメータの孤立波の場合に適用し、不安定性を証明した。今回の問題はオリジナルの微分形非線形シュレディンガー方程式においては代数的孤立波解の不安定性に対応するが、この場合を含めることはできなかった。一方、今回の解析により不安定方向に関する示唆は得ることができた。この結果は学術雑誌に掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
退化した場合の孤立波解の不安定性や点相互作用を持つ非線形シュレディンガー方程式に対し安定性の分類ができ、一定の成果が出たため。
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| Strategy for Future Research Activity |
二重べき型非線形シュレディンガー方程式の代数的定在波の安定性解析や点相互作用を持つ非線形シュレディンガー方程式の定在波の漸近安定性・強不安定性の問題に取り組む。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス流行により出張の機会が取れなかったため。翌年度は主に研究集会や研究打合せのための出張および招聘に使用する予定である。
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