2020 Fiscal Year Research-status Report
Reverse mathematical analysis of intuitionistic mathematics
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20K14354
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
藤原 誠 明治大学, 研究・知財戦略機構(生田), 研究推進員(客員研究員) (20779095)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 直観主義数学 / 構成的数学 / 逆数学 / 連続性 / 決定可能ファン定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，数学基礎論確立以前からL.E.J.Brouwerとその弟子たちにより独自の哲学的立場に基づいて展開されていた直観主義数学を，現代数学基礎論の立場から解析する．特に，直観主義数学において公理として許容されていた原理やそこから導かれる定理を構成的逆数学の文脈で解析し，直観主義数学の論理的構造を明らかにする．
本年度は，直観主義数学におけるベール空間から自然数集合への関数の連続性の概念について，構成的逆数学の観点から解析した．そして，同概念が「バー再帰を持つモジュラスによって各点連続であること」によって特徴付けられることを示した．バー再帰は古典解析学の無矛盾性を示すために導入された計算概念であり，上記の結果は直観主義数学における連続性概念の持つ数学的側面を解析するため試金石となり得る結果であると思われる．また，直観主義数学に端を発する単位区間上の一様連続性定理についても詳しく解析し，「モジュラスに連続性を加味した単位区間上の連続関数に対する一様連続性定理」が弱い選択公理しか含まない直観主義有限型算術体系上で決定可能ファン定理と同値になることを示した．これらは北陸先端科学技術大学院大学の河井達治氏との共同研究の成果である．
さらに，古典論理に基づく計算可能解析学や古典的逆数学において重要な役目を果たすケーニヒの補題と決定可能ファン定理の関係を構成的逆数学の観点から詳しく解析した．その結果，「二進(0/1)木に対する決定可能ファン定理から一般の決定可能ファン定理が導出される」という構成的数学においてよく知られた定理を証明するためには，強い選択公理を使用することが不可欠であることが分かった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
数学基礎論においてよく知られた別概念を用いて直観主義数学における主要概念や関連原理を綺麗に特徴付ける結果が数多く得られているため．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究は順調に進展しており，研究計画に大きな変更は必要ない．
引き続き，直観主義数学における主要概念や関連原理を構成的逆数学の立場から詳しく解析する．
また，構成的数学の枠組みの整備するため，証明論や計算論において多くの研究がなされている「古典論理に基づく算術体系」と「直観主義論理に基づく算術体系」や「古典算術と直観主義算術の中間に位置する算術体系」の証明能力/計算能力をメタ数学的に比較する研究を行う．
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| Causes of Carryover |
海外出張における日当支出期間の切り分けの都合上，少額の未使用額が生じた．未使用分は次年度の海外出張旅費として使用する予定である．
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