2022 Fiscal Year Research-status Report
Reverse mathematical analysis of intuitionistic mathematics
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20K14354
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
藤原 誠 東京理科大学, 理学部第一部応用数学科, 助教 (20779095)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 構成的数学 / 逆数学 / 直観主義算術 / 弱ケーニヒの補題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，数学基礎論確立以前からL.E.J.Brouwerとその追随者たちにより独自の哲学的立場に基づいて展開されていた直観主義数学を，現代数学基礎論の立場から再検討するものであり，「具体的な直観主義数学における公理や定理に対する逆数学」と「構成的逆数学を計算可能解析学や古典的逆数学と関連づけるメタ定理の開発」に大別される．前年度に引き続き，本年度もこれらを並行して押し進めた．
前者に関しては，モジュラスに連続性を加味しない一般の連続関数に対する一様連続性定理の解析のための足がかりとして，唯一解をもつ弱ケーニヒの補題WKL!!を構成的逆数学の観点から詳しく解析し，根元多佳子氏(広島工業大学)との共同研究の成果として，WKL!!がEL_0と呼ばれる直観主義二階算術の部分体系の上で2つの論理公理と2つの関数存在公理の計4つの公理に分離されることを示した．なお，WKL!!を弱めたWKL!が連続モジュラスをもつ連続関数に対する一様連続性定理と構成的に同値であることは分かっているものの，一般の連続関数に対する一様連続性定理がWKL!!から構成的に導出されるか否かは未だ分かっておらず，今後の課題として残されている．
後者に関しては，与えられた存在定理がファン定理から構成的に導出不可能であることを示すためのメタ定理の開発に取り組んだ．この研究は未だ完成してはいないものの，関連結果を踏まえた慎重な検討を繰り返す中で，所望のメタ定理の構築のための端緒を得ることができた．また，後者に関連する倉橋太志氏(神戸大学)との共同研究として，直観主義算術上の論理公理の階層構造の関係を詳しく解析し，その構造を明らかにした．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
未解決問題として残されていたモジュラスに連続性を加味しない一般の連続関数に対する一様連続性定理の構成的逆数学について，関連する一定の成果は得られたものの，当初の問題の解決には至っていないため，
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究を通して，モジュラスに連続性を加味しない一般の連続関数に対する一様連続性定理の構成的逆数学については，通常の方針では完全な解答を与えることが容易ではないことが分かったきた．今後は，制限した連続性公理と弱ケーニヒの補題の関係性を詳しく調べることでこの問題にアプローチする．
また，与えられた存在定理がファン定理から構成的に導出不可能であることを示すためのメタ定理を典型的な具体例に適用可能な形で定式化し，その証明を与えることを目指す．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の蔓延に伴い，2023年2月に予定していた海外研究機関への研究訪問を見合わせたため．
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