2023 Fiscal Year Annual Research Report
Reverse mathematical analysis of intuitionistic mathematics
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20K14354
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
藤原 誠 東京理科大学, 理学部第一部応用数学科, 助教 (20779095)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 構成的数学 / 逆数学 / 直観主義算術 / 連続性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，数学基礎論確立以前からL.E.J.Brouwerとその追随者たちにより独自の哲学的立場に基づいて展開されていた直観主義数学を，現代数学基礎論の立場から再検討するものであり，「具体的な直観主義数学における公理や定理に対する逆数学」と「構成的逆数学を計算可能解析学や古典的逆数学と関連づけるメタ定理の開発」に大別される．前年度に引き続き，本年度もこれらを並行して押し進めた．
前者に関しては，モジュラスに連続性を加味しない一般の連続関数に対する一様連続性定理の解析のための足がかりとして，決定可能ファン定理と完全二分岐木に対する決定可能ファン定理の差を埋める公理を構成的逆数学の観点から詳しく解析し，根元多佳子氏(東北大学)との共同研究の成果として，同公理を特徴付ける関数存在公理を特定した．なお，完全二分岐木に対する決定可能ファン定理が弱い関数公理のみを認める構成的数学において連続モジュラスをもつ連続関数に対する一様連続性定理と同値であることは前年度までの研究成果として既に分かっているものの，一般の連続関数に対する一様連続性定理を特徴付ける公理を特定することは未だできておらず，今後の課題として残されている．
後者に関しては，特筆すべき新たなるメタ定理の開発には至らなかったのもの，構成的逆数学における中間値の定理と凸弱ケーニヒの補題の同値性の既存の証明を修正し，自身が以前開発した構成的逆数学と計算可能解析学の関係性についてのメタ定理を適用可能である形に改良することができた．
研究機関全体を通した最も顕著な研究成果は，直観主義数学におけるベール空間から自然数集合への関数の連続性を「バー再帰を持つモジュラスによって各点連続であること」によって特徴付けたことである．
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