2020 Fiscal Year Research-status Report
Research on the well-posedness, regularity, and justification of numerical methods for fluid problems and related boundary-value problems
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20K14357
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
柏原 崇人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (80771477)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ナビエ・ストークス方程式 / プリミティブ方程式 / 動弾性体方程式 / 接触・摩擦境界条件 / 領域摂動誤差 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 大気や海洋のように，水平方向のスケールが垂直方向のスケールよりも大きな場合，流体の運動を表すナビエ・ストークス方程式から静水圧平衡を満たすプリミティブ方程式が導出される．この議論は形式的な次元解析によって行われていたが，我々はその近似の数学的正当化を証明した．より正確に述べると，水平方向と垂直方向のスケールの比（アスペクト比）が0になる極限において，拡散係数が異方的なナビエ・ストークスの解がプリミティブ方程式の解に収束することを示した．
(2) シニョリーニ接触条件やクーロン摩擦条件は，弾性体力学の接触問題の定式化に用いられる基本的な境界条件である．ともに定常問題ではよく研究されている一方で，非定常問題の解析は格段に難しくなり，解の存在や一意性は未解決問題である．我々は，速度を含むようなシニョリーニ型条件を提案し，クーロン摩擦をトレスカ摩擦に単純化した問題であれば，解の存在と一意性が得られることを証明した．
(3) Stokes-Darcy問題において滑らかな界面を考え，Beavers-Joseph-Saffman条件を課した問題を考察した．界面に沿って接方向の流速は一般に不連続となることから，数値解法にもその不連続性を反映する必要がある．我々は，ペナルティー法またはニーチェの方法と区分一次の不連続有限要素を組み合わせた数値計算スキームを開発した．さらに滑らかな界面を近似することで生じる領域摂動誤差も考慮した誤差評価を証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
(1)では，ナビエ・ストークス方程式において静水圧近似を課したものがプリミティブ方程式であるという直観的な理解を数学的に正当化することができた．また，(2)ではこれまで研究が極めて少なかった時間発展する弾性体の接触・摩擦境界条件問題に対して適切性の結果を与えることに成功した．(3)では，滑らかな領域上の有限要素法の解析においてこれまで開発してきた手法を応用し，境界値問題よりも複雑な界面問題に対する結果を得ることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，摩擦型境界条件の研究については，動弾性体問題の解析を継続するとともに，ナビエ・ストークス方程式において最大正則性型の評価を得ることを目標にする．さらに，ストークス方程式の摩擦型境界条件問題に対する有限体積法の研究を行う．これとは別のトピックとして，有限要素法において準一様性を課さない三角形分割上で最大値ノルムやLpノルムによる誤差評価を導く研究も進めていく．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の影響により，2020年度は国内及び外国旅費への支出がなかったため，次年度使用額が生じた．2021年度以降，対面による通常の研究活動が再開されるのに伴って，旅費への支出を行う予定である．ただし，状況次第ではさらに翌年度以降に支出を先送りする可能性がある．
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