2022 Fiscal Year Research-status Report
Research on the well-posedness, regularity, and justification of numerical methods for fluid problems and related boundary-value problems
| Project/Area Number |
20K14357
|
|---|
| Research Institution | The University of Tokyo |
|---|
Principal Investigator |
柏原 崇人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (80771477)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | 有限要素法 / アイソパラメトリック要素 / 領域摂動誤差 / 不連続ガレルキン法 / シニョリーニ条件 / クーロン摩擦条件 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
(1) シニョリーニ条件やクーロン摩擦条件は、弾性体力学の接触問題の定式化に用いられる基本的な境界条件である。ともに定常問題ではよく研究されている一方で、非定常問題の解析は格段に難しくなり、解の存在や一意性は未解決問題である。我々は、速度を含むようなシニョリーニ型条件を提案し、クーロン摩擦をトレスカ摩擦に単純化した問題であれば、解の存在と一意性が得られることを証明した。
(2) 領域内部と境界上で楕円形偏微分方程式を考え、それら2つがノイマン作用素を通じて相互作用するモデルを一般化ロバン境界条件という。昨年度は、一般化ロバン境界値問題に対して、曲がった境界を多角形近似することで生じる領域摂動も考慮した有限要素法の誤差評価を導いた。この結果では領域形状を表現する基底関数と有限要素法の基底関数はともに区分一次多項式（P1要素）に限られていた。今年度は、基底関数を高次の多項式（アイソパラメトリック要素）に拡張することに成功した。
(3) 放物型方程式において、時間に関する不連続ガレルキン法を用いると、1段法として1ステップずつ時間を進めることから計算負荷を抑えられる一方で、高次精度を容易に扱えるというメリットを持つスキームを考えることができる。近年注目を集めるアイソジオメトリック解析でも採用されることが多く、このスキームの理論解析は重要な課題である。時間に関する最大値ノルムによる誤差評価が先行研究で示されているものの、時間刻み幅の対数項を含むため最良オーダーではなかった。我々はその結果を改善し、不連続ガレルキン法による近似次数が1以上であるという仮定のもとで、対数項のない最良オーダー収束を示すことに成功した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要(1)の非定常な弾性体のシニョリーニおよび摩擦境界条件問題については、論文の公表まで順調に到達した。(2)の一般化ロバン境界条件問題の解析では、昨年度得られていた結果を一般化することに成功した。このこと自体は良い点である一方で、執筆中の論文もアップデートする必要が生じた結果、論文内容の修正が必要になった。(3)の時間に関する不連続ガレルキン法では、先行研究の結果を改善した誤差評価という重要な進展を得ることができた。ただし、論文にまとめて投稿するという段階には今年度中には到達していない。(2)(3)の結果を論文化するのに予想以上の時間がかかりそうな状況となっているものの、本研究課題全体としては、概ね順調に進展していると判断した。
|
| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要(2)の一般化ロバン境界条件問題の解析、及び(3)の時間に関する不連続ガレルキン法の解析について、論文にまとめて国際専門誌に発表する段階まで進むことが次年度の喫緊の課題である。また、昨年度言及した、非ニュートン流体の一種であるBinghamモデルの理論解析については研究を継続中である。新たなトピックとして、移流方程式に対する有力な数値解法の一つとして知られるセミ・ラグランジュ法についての理論的な考察も開始している。
|
| Causes of Carryover |
2022年度も新型コロナウイルス感染症の影響が続いたため、学会は基本的にオンラインで参加した。その結果、旅費の支出が少なくなったことから、次年度使用額が生じた。2023年度は対面による研究活動（研究打ち合わせ・学会参加）が増加することが想定される。また、RAを雇用して流体方程式の数値解析に関する新たなトピックの情報収集を行う。次年度使用額と、翌年度分の助成金はこれらの活動に使用する計画である。
|
