2023 Fiscal Year Annual Research Report
Research on the well-posedness, regularity, and justification of numerical methods for fluid problems and related boundary-value problems
| Project/Area Number |
20K14357
|
|---|
| Research Institution | The University of Tokyo |
|---|
Principal Investigator |
柏原 崇人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (80771477)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | ナビエ・ストークス方程式 / 摩擦型漏れ界面条件 / Rhoteの方法 / ビンガム流体 / H^2正則性 / 滑り境界条件 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 非圧縮流体において、応力がある閾値に達しない場合は流速はゼロだが、閾値に達した場合は非自明な流速が発生するという非線形な摩擦型境界条件が知られている。考える流速の方向が接線方向の場合は摩擦型滑り境界条件、法線方向の場合は摩擦型漏れ境界条件という。摩擦型境界条件に関する研究では滑り境界条件しか考えないものも多いが、直観的・物理的には、漏れ現象を記述する境界条件も十分考察に値する。我々は、漏れ現象を記述するのであれば、境界の片側だけでなく両側の領域を考慮すべきであるという観点に着目し、摩擦型漏れ界面条件を定式化した。さらに、Stokes方程式に対する数学解析と数値解析を行った。
(2) 摩擦型境界条件問題において、移流項を考えないStokes方程式の場合は、空間方向に関するソボレフH^2正則性が成り立つことが知られている。しかし、移流項も含む非定常Navier-Stokes方程式において、そのような正則性を有する解が存在するかは知られていなかった。本研究では、時間方向半陰的に離散化した近似問題を考えることにより、空間方向にH^2正則性を持つ強解の存在を証明することに成功した。
(3) 降伏応力という閾値よりも応力が小さい場合は固体のように振る舞い、閾値を応力が上回れば流体のように振る舞うという塑性をもつ非ニュートン流体のモデルをBinghamモデルという。非圧縮条件を課したBingham流に対しては、ソボレフH^1正則性を持つ弱解が存在すること、そして領域内部で弱解はソボレフH^2正則性を有することが知られている。しかし、境界まで込めたH^2正則性が成り立つかどうかは未解決問題であった。本研究では、境界条件を完全滑り境界条件にすれば、そのようなH^2正則性が成り立つことを証明した。
|
