Research on the well-posedness, regularity, and justification of numerical methods for fluid problems and related boundary-value problems

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 20K14357
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: Kashiwabara Takahito 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (80771477)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: アイソパラメトリック有限要素法要素 / 摩擦型境界条件 / ナビエ・ストークス方程式 / プリミティブ方程式 / 動弾性体方程式 / 領域摂動誤差 / 不連続Galerkin法 / Signorini接触条件

Outline of Final Research Achievements

We studied (1) development of frictional boundary condition models and (2) numerical analysis of PDEs on a smooth domain, aiming to enhance mathematical justification of numerical simulations in fluid dynamics. For topic (1) we proposed friction conditions for interface problems and proved its well-posedness as well as the validity of numerical algorithms. In addition, we obtained regularity for the solution of the Navier-Stokes equations subject to frictional boundary conditions, and we proved unique solvability for linearized elasto-dynamic problems subject to a contact condition of Signorini type that contains velocity. For topic (2) we extended our theoretical analysis of the finite element method, which can handle domain perturbation, to higher-order isoparametric FEMs.
Moreover, we improved the Lp estimates for the discontinuous Galerkin time-stepping method applied to parabolic equations.

Free Research Field

偏微分方程式の数値解析

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

科学の諸分野に現れる流体現象を分析・予測するための手法として、数値シミュレーションは不可欠な技術となっているが、その急速な発展に対して数学的正当化が十分に追いつけていない側面がある。本研究は、摩擦型境界条件と有限要素法という2つのトピックにおいて、数学解析と数値解析双方の視点に整合する理論を構築することを目指したものである。偏微分方程式問題としての適切性や正則性、および数値解法の妥当性という観点から首尾一貫した数学理論を確立することは、流体の数値シミュレーション技術の基盤構築に貢献する。本研究の成果もその一助となることが期待される。