2018 Fiscal Year Annual Research Report
Development of the theory of diffusion equations for analysis on data separation
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18H05323
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
儀我 美一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70144110)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石毛 和弘 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90272020)
行木 孝夫 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (40271712)
黒田 紘敏 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (80635657)
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| Project Period (FY) |
2018-06-29 – 2024-03-31
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| Keywords | 全変動流方程式 / 拡散型偏微分方程式 / クラスタリング |
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| Outline of Annual Research Achievements |
データ分離問題は機械学習の分野では基本的な問題であり、さまざまな解析手法が提案されている。この種の問題に対して、離散数学的手法を用いて何らかの評価関数を最小にするものを求める方法が主であった。しかし、データ数が増えると、離散的手法は計算量が増えて困難になる。流体力学の研究に見られるように、各分子の動きをすべて追跡するよりも、いわゆる連続体近似を行って、平均量を解析したほうが、少ない計算量で知りたい結果が多い。そこで、データサイエンスにかかわる基本的な問題である2値分離、クラスタリング、時系列分離問題に絞り、現在の研究状況を分析した。そのために2018年12月18日に「データ分離問題の基礎と新展開」というセミナーを開催した。その結果、偏微分方程式的な研究手法が、今後需要が伸びそうであることを確認し、具体的な問題に取り組んでいる。
例えばクラスタリングに用いようとしている小林-Warren-Caterモデルは、全変動エネルギーに対するAmbrosio-Tortorelli近似とみなせる。ディリクレエネルギーに対するAmbrosio-Tortorelli近似の極限は、Munford-Sheh汎関数になることが知られている。全変動エネルギーの場合どうなるかを現在研究しているところである。一方、全変動流方程式や、伝播モデルについての数学解析は着実に進行している。
例えば空間離散型の全変動写像流方程式について、それを近似する凸型変分的時間離散スキームを作り、その収束を証明することに成功した。これは例えば、回転群に値を取る全変動写像流方程式の解の計算を容易にするものとして注目されている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
もともとの予定では、本年度は研究分野の現状を知ることを目指し、本格的な研究は次年度からという研究計画であった。
当初は全く慣れない分野に参入するので、なかなか難しい研究計画と思われた。しかし、問題を注視すると、これまで研究代表者らが扱ってきた連続問題での経験が十分生かせることがわかってきた。これにより、いくつかの具体的な問題に絞れ、今後大きく発展しそうである。
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| Strategy for Future Research Activity |
画像分離や画像からノイズを除去する変分学的手法、特にMunford-Sheh汎関数や、小林-Warren-Cater汎関数についての理解を深める。後者の基礎となる全変動流方程式については、グラフ上への適用等、データサイエンスにより適合する形で扱う準備をする。このため、連続問題での変分解析の手法をグラフ上に適用をしてきた海外の専門家を日本に招聘して議論をすることにより、研究を進めていきたい。
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