2022 Fiscal Year Research-status Report
ディフェオロジカル de Rham 理論の創発研究
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20K20424
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
栗林 勝彦 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (40249751)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
木原 浩 会津大学, コンピュータ理工学部, 上級准教授 (60254116)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ディフェオロジー / スペクトル系列 / Souriau-de Rham 複体 / 特異de Rham 複体 / 因子写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般的な圏がQuillenのモデル圏構造を持つ場合，その圏上でホモトピー論が展開できるという恩恵がある。すなわち圏の対象に対してホモトピー不変量から分類問題を考察することが可能になる。また，Quillen, Sullivanの有理ホモトピー論は，位相空間の圏が持つモデル圏構造と次数つき微分代数が持つモデル圏構造との間の適切な随伴関手が，そのホモトピー圏の部分圏同士の間に圏同値を誘導するということを主張している。これから単連結空間を含むべき零空間のホモトピー論的分類は，完全に微分代数のそれに帰着する。Diff(ディフェオロジカル空間の圏)においてもこうした有理ホモトピー論を展開できる枠組みを構築することで，ディフェオロジカル空間(以下 diff-空間)の分類問題に貢献できると考えることは自然であろう。
近年，木原浩氏(会津大学)は，圏DiffにQuillen モデル圏構造を導入し，さらにDiffと単体的集合のKan-Quillenモデル圏とのQuillen同値性を証明した。これらモデル圏構造を本研究に応用するために，研究分担者として木原氏に参画していただき，本研究課題 II 「ディフェオロジカルde Rhamホモトピー論，有理ホモトピー論的モデルの構築と応用」を進める体制を整えた。Diffのモデル圏構造とGomez-Tato--Halperin--Tanre [GHT] によるK(π, 1)空間上に媒介変数を持つ，パラメトライズド有理ホモトピー論の手法とを組み合わせることで，diff-空間の単体的集合上の有理化が得られると考えているが，まず，べき零diff-空間に対して，Diffにおける有理ホモトピー論の展開可能性を十分に検討してきた。本研究結果として，べき零diff-空間の場合は，ある程度扱いやすい局所系モデル(柔順モデル)の構成方法を手に入れることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
今までの研究で完成している課題Iの「ディフェオロジカル空間に対するde Rhamの定理の定式化とその証明」で用いた単体的de Rham複体を研究実績の概要で述べた課題II研究に投入することで，連結多様体Mの懸垂ΣMのde Rham ホモトピー論的性質である，フォーマリティーを示すことに成功している。すなわちDiffにおける懸垂ΣMの有理(実)ホモトピー型はそのコホモロジー環で決定する。この結果は，懸垂ΣMの微分構造を忘れ位相空間として考えた場合は有理ホモトピー論の結果であるが，微分構造を保ったままの議論は初めてである。
まず，懸垂ΣMをシリンダーのde RhamをM x [0, 1]において境界をそれぞれを一点に潰す階層空間(stratifold)と考え，この可換微分代数の中に[0,1]からRへの(Diffにおける)可微分写像が誘導する写像経由でRの一次の微分形式とM上の微分形式のテンソルが現れ，結果として懸垂ΣMのフォーマリティーが従うことになる。これは懸垂ΣMのSouriou-de Rham複体を既知の微分形式で表示した初めての例となる。
本研究を推進するための関連事業として，国際研究集会 Building-Up Differential Homotopy Theory 2023 (共同世話人：岩瀬 則夫氏(九州大学)，木原 浩氏 (会津大学))を会津大学で開催した。海外からの講演者7名を含む13講演が行われ，同時に講演者を含む参加者，若手研究者と広く情報・意見交換がをすることで，たとえばトーリックトポロジーへのディフェオロジーの応用可能性を確信することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究を一年延長し，単連結diff-空間より一般なべき零diff-空間の有理ホモトピー論を完成させる。さらにこの枠組みを非単連結diff-空間へ一般化する道筋を明確にすることで，その応用を推し進めるための新たな研究を立ち上げる計画である。研究実績の概要で述べたべき零diff-空間の柔順モデルが，一般的な局所系モデルの枠組みに入るため，この研究が完成すればdiff-空間および位相空間の場合においても，べき零空間の有理ホモトピー論が完全に上述の[GHT]のファイバーワイズ有理ホモトピー論に組み込めることになる。また，diff-空間のK(π, 1)上の局所系モデルは一般の単体的集合上の局所系モデルの概念に拡張されるため，diff-空間の有理ホモトピー論のさらなる展開も期待できる。例えば，懸垂ΣMの一般化として，接着diff-空間のde Rhamコホモロジーに収束するスペクトル系列の構築を計画する。関連し，位相圏の分類空間のコホモロジーに収束する積構造を持つスペクトル系列の構成を行い，Borelコホモロジーの計算に応用する研究も推進する予定である。
またディフェオロジー研究に関連する情報収集のためにEnxin Wu(汕頭大学, 中国)およびPatrick Iglesias-Zemmour(ヘブライ大学, イスラエル)を世話人とするマンスリーオンラインセミナー・情報交換サイト Diffeology Net (https://diffeology.net/) に運営委員として2021年から参画している。引き続き委員として参画し，研究推進のため情報収集に努める計画である。
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| Causes of Carryover |
国際研究集会に関して，国内外講演者のいくつかのキャンセルにより当初の予定より規模を縮小しての開催となった。次年度への予算は，小規模セミナー・研究集会等を複数開催するための費用に当てる計画である。
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