2023 Fiscal Year Research-status Report
ディフェオロジカル de Rham 理論の創発研究
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20K20424
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
栗林 勝彦 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (40249751)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
木原 浩 会津大学, コンピュータ理工学部, 教授 (60254116)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | ディフェオロジー / スペクトル系列 / 単体的de Rham複体 / 階層体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般的な圏がQuillenのモデル圏構造を持つ場合，その圏上でホモトピー論が展開できるという恩恵がある。すなわち圏の対象に対してホモトピー不変量から分類問題を考察することが可能になる。近年，木原浩氏(会津大学)は，ディフェオロジカル空間（以下diff-空間）の圏DiffにQuillen モデル圏構造を導入し，さらにDiffと単体的集合のKan-Quillenモデル圏とのQuillen同値性を証明した。このモデル圏構造を本研究に応用するために，研究分担者として2022年度から木原氏に参画していただき，本研究課題 II 「ディフェオロジカルde Rhamホモトピー論，有理ホモトピー論的モデルの構築と応用」を進める体制を整えた。べき零diff-空間Mに対しては位相空間の場合のSulllivan-de Rham対応を自然に拡張することで，MのSullivan極小モデルを構成することができるが，一般の基本群を持つdiff-空間に対する有理ホモトピー論の構築にはいくつかのステップと確認作業が必要になる。本研究においては，Diffのモデル圏構造とGomez-Tato--Halperin--Tanre によるK(π, 1)空間上に媒介変数を持つ，パラメトライズ有理ホモトピー論の手法とを組み合わせることで，一般のdiff-空間Mに対してMの基本群から得られる単体的集合上の局所系による有理モデルを構成し，有理化diff空間の圏と極小局所系のそれぞれのホモトピー圏の同値性を示すことができた。さらに，べき零diff-空間Mに対しては，上記一般論よりも扱いやすい局所系モデル(柔順モデル)の構成方法を手に入れることができた。
本研究では上述の結果に加えて位相圏の分類空間のコホモロジーに代数として収束するスペクトル系列を構成しその計算を進めた．結果として特に，実射影空間の自由ループ(diff-)空間の単体的de Rhamコホモロジーを代数としてChenの反復積分写像のもので球面の体積形式を用いて表示することに成功している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
今までの研究で完成している課題Iの「ディフェオロジカル空間に対するde Rhamの定理の定式化とその証明」で用いた単体的de Rham複体を上述の研究課題 II 上で応用することで成果を上げている．具体的には，まずdiff-空間の接着空間として重要な例であるKreckの階層体(Stratifold)に着目し， diff-空間の有理ホモトピー型を決定する局所系の理論を用いて，階層体の単体的de Rhamコホモロジーに代数として収束するスペクトル系列を構成することができた．そのE2-項は局所係数のコホモロジーとなるが，微分代数構造を持つこうしたタイプのスペクトル系列は今までになく新しいものである．
また，局所系の理論をdiff-空間から見直すことで，位相空間の局所系理論にも進展があった。実際，ホモトピー余極限の局所系モデルを構築する方法を確立した．特に，２つの複素射影空間の自由ループ空間への起点付きループ空間の包含に関するホモトピー余極限を考える場合，その局所系モデルを具体的に与えることに成功している。本研究を推進するための関連事業として，国際研究集会 Building-Up Differential Homotopy Theory 2024 (共同世話人:岩瀬 則夫氏(九州大学)，山口 睦氏 (大阪公立大学))を大阪公立大学で開催した。海外からの講演者4名を含む14講演が行われ，同時に講演者を含む参加者，若手研究者と広く情報・意見交換がをすることで，ディフェオロジーの応用可能性，より具体的には超関数の理論の展開，diff-空間への計量の導入そして，オービフォールドから得られる位相・ディフェオロジカル亜群の研究への利用等を確信することができた。これらの結果は，プレプリントLocal system in diffeologyを改訂し研究代表者のホームページで発表している。また当該原稿を専門雑誌に投稿し，現時点(5月中旬)で改訂版を再投稿している。
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| Strategy for Future Research Activity |
ディフェオロジー研究は微分幾何的考察よりもホモトピー論的側面及びホモロジー代数を含む圏論的側 面からのアプローチが先行し整備されてきた。こうした中で，P. Iglesias-Zemmourによりdiff-空間に対して計量の概念がもたらされている。この計量による考察とトポロジー的手法の融合はまさしく幾何学の発展から見れば自然な流れと考えられる。圏Diffにおいて微分幾何的考察を進めるために計量の概念を今後整備することが必要である。また， Paolo Giordano（University of Vienna）や島川和久（岡山大学）によりdiff-空間の圏を豊穣化することで，その圏において超関数・一般化関数を扱えるようになってきた。さらに，Leygonie, Oudot, Tillmannは位相データ解析に現れるバーコードの空間にディフェオロジーを定義し，バーコードの解析（バーコードから写像に微分の概念を定義し考察）を進めている。こうしたディフェオロジーの応用にも注目する。
またディフェオロジー研究に関連する情報収集のためにEnxin Wu(汕頭大学, 中国)およびPatrick Iglesias-Zemmour(ヘブライ大学, イスラエル)を世話人とす るマンスリーオンラインセミナー・情報交換サイト Diffeology Net (https://diffeology.net/) に運営委員として2021年から参画している。引き続き委員として参画するとともに，上述の研究に関する情報の収集に努める計画である。
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| Causes of Carryover |
国際研究集会の参加を予定していた講演者がオンライン講演となり予算の使用方法に変更が生じたため，次年度使用額が生じることとなった。研究の推進方策で述べた研究の情報収集のためにセミナーを開催する。
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