Geometry from the viewpoint of quantization and duality

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K20877
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 加藤 晃史 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10211848)
• Project Period (FY): 2020-07-30 – 2023-03-31
• Keywords: 箙 / 変異 / 分配関数 / 三角圏 / クラスター代数 / 不変量

Outline of Annual Research Achievements

箙(quiver)とその変異(mutation)は，クラスター代数とともに，可積分系・低次元トポロジー・表現論・代数幾何学・WKB 解析などさまざまな分野に共通して現れる構造として注目を集めている．特に，箙の変異列 (mutation sequence) から系統的にゲージ理論や３次元双曲多様体を構成する方法が提唱され，その不変量を数学的に厳密に解析する手段の開発が必要となった．
加藤は寺嶋郁二氏(東京工業大学)との共同研究において、与えられた箙変異の列 γ (quiver mutation loop = クラスター代数の exchange graph 上のループに相当)に対し、分配 q 級数 Z(γ) と呼ばれる母関数を定義したがこの考え方は、quiver mutation loop のような周期境界条件ではなく、初期条件のみを指定した有限区間 (quiver mutation sequence) に対しても適用可能である。この場合は終状態に対する自由端条件を表すために、 c-vector で次数付けされた非可換トーラスに値を持つ関数として考えるのが自然である。加藤は、寺嶋郁二氏と水野勇磨氏(ともに東京工業大学)との共同研究において、Boltzmann weight を q
二項係数とする分配関数(partition function)を導入し、その性質を調べた。この分配関数は、実は引数の異なる２つの分配 q 級数の比として書けることが証明できる。その結果、分配関数もまた分配 q 級数が持つ様々な良い性質を引き継いでいる。たとえば、 q 二項係数が満たす Stanley の関係式は、分配 q 級数がペンタゴン関係式を満たすことの帰結として導くことができる。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

今までの分配級数の考え方を３次元多様体の理想単体分割に適用する場合，branching と呼ばれるデータの載せ方次第ではうまく不変量が定義されないことがあった。これにはかなり悩まされ続けてきたが，各理想単体に Hopf 代数の canonical element を対応させるという代数的な手法により，この困難を回避できる見通しが立った。

Strategy for Future Research Activity

上記の方法で定義された不変量は branching の構造と両立する Pachner 2-3 move のもとで不変であることは比較的容易に示すことができた。課題は，必ずしも branching の構造と両立しない場合においてどのような変化が生じるかを分析することと，既存の不変量（Kashaev 不変量など）との関係を明らかにすることである。現在は大量の実験結果に基づいて予想を立てている段階であり，予想が固まった時点で証明に取り組みたい。

Causes of Carryover

コロナ禍により学会や研究集会に出張することができなくなり，旅費や講演謝金の支出が完全にストップしている。今年度もコロナが収まるまでは，テレワーク関連機材・パソコン・研究資料の図書の購入に，費用をあてることにする。