Geometry from the viewpoint of quantization and duality

2023 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 20K20877
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 加藤 晃史 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10211848)
• Project Period (FY): 2020-07-30 – 2024-03-31
• Keywords: クラスター代数 / 箙変異 / 分配級数 / 量子ダイログ / 指標公式 / ペンタゴン関係式 / 量子不変量

Outline of Annual Research Achievements

箙 (quiver) とその変異 (mutation) は，クラスター代数とともに，可積分系・低次元トポロジー・表現論・代数幾何学・WKB 解析などさまざまな分野に共通して現れる構造として注目を集めている．特に，箙の変異列 (mutation sequence) とゲージ理論や３次元双曲多様体の関連が提唱され，その不変量を数学的に厳密に解析する手段の開発が必要となった．私は寺嶋郁二氏(東北大学)との共同研究において、与えられた箙変異の列γ (quiver mutation loop = クラスター代数の exchange graph 上のループに相当)に対し、分配 q 級数 Z(γ) と呼ばれる母関数を定義した。これは、以下のような著しい性質を持つ。(1)Z(γ)は箙変異の列γの反転操作や巡回シフトのもとで不変であり、圏論的なモノドロミーの不変量と考えられる。(2) 箙変異の列γの変形に対し、量子ダイログと同様なペンタゴン関係式を満たす。(3) ADE型ディンキン図形やそのペアから自然に定義される分配 q 級数は、アフィン・リー環に附随するcoset 型共形場理論に現れるフェルミ型(準粒子型)指標公式に一致し、適当なqベキ補正のもとで Z(γ) は保型形式となる。(4) reddening sequence というクラスの箙変異列γに対し、分配級数は量子ダイログの積で表され、combinatorial Donaldson-Thomas invariant と一致する。
現在は分配級数の考え方を発展させ，３次元多様体の量子不変量を，理想単体分割のデータから直接的に構成する研究を進めている。