2021 Fiscal Year Research-status Report

Fusion of algebra, geometry and combinatorics based on the roots of Poincare polynomials of hyperplane arrangements

Research Project

Project/Area Number	20K20880
Research Institution	Kyushu University
Principal Investigator	阿部拓郎九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (50435971)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	沼田泰英信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (00455685) 鍛冶静雄九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (00509656)
Project Period (FY)	2020-07-30 – 2023-03-31
Keywords	超平面配置 / 対数的ベクトル場 / 特性多項式とその根 / 分解定理 / 制限写像 / 有向グラフ配置 / Shi配置 / Ish配置
Outline of Annual Research Achievements	研究計画二年目となる2021年度もコロナ禍の真っただ中であり、限定的な対面打ち合わせしかできない中、オンラインツールなどを積極的に用いて研究計画を推進した。その結果得られた、辻栄周平氏とTan Nhat Tran氏との国際共同研究について説明する。グラフとは点と辺からなるシンプルな研究対象であるが、これと対応するグラフ配置の研究は、超平面配置の研究開始以来深く調べられていた。特にStanleyによる、コーダルグラフであることとグラフ配置の自由性の同値性は極めて重要な結果であり、この場合根はグラフに完全除去順序を入れた場合のある種の辺の本数として理解することができる。他方この一般化として、辺に向きを付け頂点に重さを付けた、有向グラフから定まるグラフ配置の研究が近年注目を集めている。その中でも重要な配置として、Shi配置とIsh配置と呼ばれる配置がある。これらの間をつなぐ超平面配置レベルでの自然な変形が存在しており、これらの特性多項式がShi配置Ish配置と同じであることが知られていた。Shi配置、Ish配置どちらも自由であるため、これらの変形も自由であるかどうかが問題となっていた。まずこれらの自由性を示し、更にそれらがグラフの全く新しい変形理論から自然に理解可能であることが分かった。これは頂点に乗った重さとある頂点に入る辺とを交換する操作で、この操作で「特性多項式が保たれること」がわかり、かつある仮定の下で「自由配置に対応するグラフにこの変形を施したものも自由である」ことがわかった。これは根のグラフ理論的理解に対するブレイクスルーであり、この範疇に含まれる配置をさらに研究することで、整数根への理解がさらに進むと期待される。本結果はプレプリントとして公開済みである。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason コロナ禍による研究の遅れはある程度は発生しているが、その中でもオンラインツールなどを的確に用いることでドイツとの国際共同研究を成功させるなど、着実に成果を得られているため。
Strategy for Future Research Activity	ランダム生成アルゴリズムや深層学習を用いた、整数上根が分解する特性多項式を持つ超平面配置の研究は着実に進んでいるが、やはり一般的なものに対してそれらを実行することは困難であることが見えてきた。そこで、今年度の研究で得られた、（有向）グラフ配置に対してこれらのアルゴリズムを適用することを現在検討している。その結果を用いて、本年度得られた結果を更に推進することが最終年度の研究の柱である。自由でない場合も、我々の研究で得られた手法は成立するため、グラフ配置の場合で整数根のみを持つケースを深く解析することで、根の組み合わせ論的・代数的意味を考察したい。更に本計画内で得られた、自由配置の制限配置と局所化配置の根に関する成果にも更なるメスを入れたい。この二つの操作は重要ながら、基本的に全く違う操作であり、直接的な関係はない。しかしながら、本計画で得られた結果は、この二つの根に同じような条件が課されることを示していた。この理由は現在のところ不明であり、この点を考察することで、例えば元の配置の整数根が、局所化と制限の整数根から得られる可能性について検討する。これがうまくゆけば、根に関する加除定理のようなものが新しい視点から得られることとなり、低次元から初めて根の意味を深く解釈できることが期待される。 2022年度初頭の様子を見ると、コロナ禍もある程度の落ち着きを見せているため、積極的な対面打ち合わせ、また可能であれば海外研究者との打ち合わせ、研究集会の開催などを通して積極的な情報収集・発信に努めることで、研究を大きく推進することを考えている。
Causes of Carryover	コロナ禍は継続中であり、予定していた対面打ち合わせや海外出張・海外研究者の招へいがほぼできなかった。これらの研究費は2022年度に、対面打ち合わせや海外出張・研究集会開催などに利用することで研究を推進する予定である。