2021 Fiscal Year Research-status Report
Research on a complexification of hyperbolic tetrahedra
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20K20881
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
村上 順 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90157751)
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| Project Period (FY) |
2020-07-30 – 2023-03-31
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| Keywords | 双曲幾何学 / ３次元多様体 / 量子不変量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
量子 6j 記号の漸近展開の主要項が双曲四面体の体積と関係することが以前の研究から知られており，さらに主要項の次の項が，双曲四面体のグラム行列の行列式と対応することが Chen と研究代表者との研究で明らかにされている．一方で，結び目の色付きジョーンズ多項式の漸近展開に関する体積予想では，主要項が結び目補空間の体積に対応し，次の項が捻れライデマイスタートージョンと呼ばれるものに対応することが予想されており，このことから，双曲四面体のグラム行列の行列式が捻れライデマイスタートージョンと関係することが予想される．これについては，他の研究者により，四面体の捻れライデマイスタートージョンが構成されており，さらにグラム行列の行列式がこの捻れライデマイスタートージョンとがほぼ等しくなることが示されている．この対応において，角や辺のパラメータを複素化することにより，複素化された双曲四面体の捻れライデマイスタートージョンが構成されるものと考えられる．
本年度は，結び目を軸とする錐多様体の捻れライデマイスタートージョンと色付きジョーンズ多項式との関係について，結び目補空間の理想四面体分割の変形として得られる，錐多様体の理想四面体分割を用いて明らかにすることを目指し，そのために，結び目を軸とする錐多様体の理想四面体分割の様子を，横田佳之により構成された結び目補空間の理想四面体による分割，及びその変形の理論を，直接色付きジョーンズ多項式に対応させる理論を構成した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
海外研究者との対面での研究打ち合わせに支障が生じたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
Kirillov-Reshetikhin により量子 6j 記号を用いた色付きジョーンズ多項式の構成法が与えられている．この構成法に対して，これまでの体積予想に関する研究の知見を適用し，角や長さが複素化された双曲四面体の実体を明らかにする．海外の研究者との対面による研究打ち合わせが可能になり次第，体積予想に関するこれまでに知られている情報を収集し，複素化された双曲四面体の幾何的性質を明らかにする．
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| Causes of Carryover |
海外の研究者との対面での研究打ち合わせが困難だったため予定に沿って研究を進めることができなかったため．
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