2020 Fiscal Year Research-status Report
Discrete integration by parts on any convex polygon and design of structure-preserving numerical schemes
| Project/Area Number |
20K20883
|
|---|
| Research Institution | Osaka University |
|---|
Principal Investigator |
降籏 大介 大阪大学, サイバーメディアセンター, 教授 (80242014)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-07-30 – 2023-03-31
|
| Keywords | 離散部分積分公式 / 構造保存数値解法 / 差分法 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
研究計画初年度においては，研究計画のステップ1およびステップ2において想定していた過程計画を基に各分野の専門家と協働も含めたアプローチを行った．
まず，本研究の本質的内容である構造保存を実現するために要請される離散的数学的性質についての研究を進展させるべく遂行した．具体的にはその一つである基底空間の自由度の高い離散化とその上での微分作用素の離散化に課せられる要請（Green 則，Gauss則，Stokes則などとその一般的な導出）について，基底空間を一般に凸多角形分割しその上に piecewise constant な関数空間を想定することと巧妙な離散ベクトル解析を考えることで既知の多くのベクトル解析則を離散的に再現することが可能であることを見出していたが，ステップ1に述べていたようにこれらについて数学的な本質部分を整理し，コンパクトに成果をまとめた．
また，本研究では本質的に非線形な偏微分方程式問題に対するなんらかの対応が必要であるが，このために本研究者は空間対称性を持ち，かつ，その近似誤差プロファイルを制御可能な差分演算子を新たに構成した．これは計画にはなかった新しい発見である．これは通常の差分演算子が参照点上の関数値の線形和の係数をTaylor展開に基づいて半ば自動的に決定するものに対して線形和であることを放棄し参照点上関数値の非線形関数として設計することで数学的に優れた性質を導入することに成功したものである．実際，強い非線形性をもつ上に波動方程式の性質をもつために数値計算の困難を引き起こすことで知られる非粘性バーガーズ方程式に対して風上差分等の概念を導入することなく荒いメッシュで安定な計算を可能とすることを確認した．これらの成果は日本応用数理学会年会，北陸応用数学研究集会や第26回計算工学講演会(予定)などの研究集会・学会にて講演発表し，専門家と最新の知見を共有した．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究の計画では通常の線形演算子としての差分演算子をベースとした離散部分積分公式の研究推進を行うものであったが，非線形ながら近似誤差プロファイルを制御可能なまったく新しい差分演算子の考案，構成に至る成果を得た．これは本研究の目的である離散部分積分公式の研究にも寄与することは当然ながら，他場面への適用が強く期待できる成果であり，当初計画を越えての成果であると判断するものである．
|
| Strategy for Future Research Activity |
現状は研究計画にあったステップ1を順調に遂行した上に計画にない新たな成果を得た状態であることから，大きく分けて2つの方向性へその可能性を探索しながら研究を遂行してゆく方策が良いと考える．
その一つ目は研究計画に記載したステップ2に相当する方向性で，初年度に一定の成果確立を得た任意凸多角形上での差分作用素に基づく構造保存数値解法の構成である．これは研究計画書の目的の項にも記したようにこの成果が得られれば理学，工学，社会，医療問題等の幅広い分野での実際の応用があり重要性の高い方向性である．この方向性の研究に関しては東京大学の松尾教授，大阪大学の宮武准教授とのこれまでの共同研究を継続することで進展を強く期待できると考えている．
二つ目の方向性は初年度に新たに得た成果である非線形差分作用素の本研究への適用可能性を検討するというものである．この差分作用素は非線形のために計算量は増加するが，導入された自由パラメータにより近似誤差プロファイルを制御可能であるという大変優れた数学的性質をもつことから，波動型偏微分方程式をはじめ多くの問題に対して大変に有用であると期待できる．この特徴を取り込む形で構造保存数値解法が構成できればこれは実用上大変に優れた数値計算法となる可能性があるためこの方向性を探索することは本研究において大変に重要であると考える．
|
| Causes of Carryover |
理論的進捗に集中していたことと，コロナ禍のために2020年度全期間を通じて国内出張，国外出張が不可能となったために多くを出張費として予算計画していた本年度予算に次年度使用額が生じた．
2021年度半ばよりこの状況が改善すると見込まれることを鑑みて，2021年度後半に幾度かの国外で行われる国際研究集会への参加を計画するとともに2021年度の計算サーバ等の購入を検討しており，これらの出張費および物品費として予算使用が進むものと考えている．
|
Research Products
(3 results)
