2021 Fiscal Year Research-status Report
Discrete integration by parts on any convex polygon and design of structure-preserving numerical schemes
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20K20883
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
降籏 大介 大阪大学, サイバーメディアセンター, 教授 (80242014)
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| Project Period (FY) |
2020-07-30 – 2023-03-31
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| Keywords | 離散部分積分公式 / 構造保存数値解法 / 差分法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究計画第二年度においては，研究計画のステップ１からステップ３において想定していた過程計画を基に各分野の専門家と協働も含めたアプローチを行った．
まず，本研究の本質的内容である構造保存を実現するために要請される離散的数学的性質についての研究を進展させるべく遂行した．具体的にはステップ１から２にかけての研究の継続として基底空間離散化とその上での微分作用素の離散化への要請（Green-Gauss則等とその導出）について，基底空間の一般凸多角形分割と piecewise constant 関数空間上での離散ベクトル解析の数学的な整理を行いコンパクトにまとめた．
そしてステップ３の研究として，いくつかある既存の構造保存数値解法の高速化手法について，たとえば非線形性が多項式の形状である場合のスキームの時間方向の多段階化と呼ばれる手法との整合性等を調べ，本質的にこれらの手法を適用可能であることを見出した．これは空間方向の離散化が変文構造をもつかぎり離散変分導関数法のフレームワークが崩れないことによるものであり，数学的には自然な拡張であることを意味する．
そして，本研究においてより優れた離散化手法として，近似誤差プロファイルを制御可能な差分演算子を新たに構成している．これは参照点上関数値の非線形関数として設計することで優れた性質を導入したものである．実際，数値計算の困難をもつ非粘性バーガーズ方程式に対して安定な計算を可能とすることを確認している．これらの成果は日本応用数理学会年会，同研究部会連合発表会，第27回計算工学講演会(予定)などの研究集会・学会にて講演発表し，専門家と最新の知見を共有した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の計画において，当該年度の研究は第１から第３ステップまでの範囲であったが，これらの計画に沿って十全に研究を推進することが出来た．
また，前年度に引き続き，非線形ながら近似誤差プロファイルを制御可能な新しい差分演算子の考案，構成に至る成果に関する研究を本研究のフレームワークと連携させて進展させている．これは本研究の目的である離散部分積分公式の研究にも寄与しつつ他場面への適用も強く期待できる成果でありることから，当初計画として十分に満足な成果であると判断するものである．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究の計画において，当該年度の研究は第１から第３ステップまでの範囲であったが，これらの計画に沿って十全に研究を推進することが出来た．
また，前年度に引き続き，非線形ながら近似誤差プロファイルを制御可能な新しい差分演算子の考案，構成に至る成果に関する研究を本研究のフレームワークと連携させて進展させている．これは本研究の目的である離散部分積分公式の研究にも寄与しつつ他場面への適用も強く期待できる成果でありることから，当初計画として十分に満足な成果であると判断するものである．
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| Causes of Carryover |
理論的進捗に集中していたことと，コロナ禍のために2021年度全期間を通じて国内出張，国外出張が不可能となったために多くを出張費として予算計画していた本年度予算に次年度使用額が生じた．
2022年度半ばよりこの状況が改善すると見込まれることを鑑みて，2022年度後半に幾度かの国外で行われる国際研究集会への参加を計画するとともに2022年度中に国内外の構造保存数値解研究者を招待しての研究集会等を検討しており，これらの出張費および謝金等として予算使用が進むものと考えている．
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