無限次元最適化とその近似による新しい計算科学の探究

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K21786
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 松尾 宇泰 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 教授 (90293670)
• Project Period (FY): 2020-07-30 – 2023-03-31
• Keywords: 数値解析 / 最適化

Outline of Annual Research Achievements

本計画研究は，不確かなモデルのからむ計算科学的研究において，従前は有限次元空間におけるモデル推定（データ同化）を考えていたところ，むしろ無限次元空間におけるモデル推定（すなわち無限次元空間における最適化に基づくモデル同定）だと考えることで，より柔軟で素直な計算科学体系が表出する可能性を探究するものである．
今年度は，上記の目的のために本計画研究開始前から始めていた，基礎的な常微分方程式力学系における無限次元最適化とそれに基づくモデル推定に関しての調査を継続し，まずはモデルが簡易な場合において，実際に無限次元空間からモデル探索を行う原始的アルゴリズムを与え，それが一定程度動作することを確かめた．この際，最適化自体は無限次元空間で動作するが，アルゴリズムを工夫することで，実際の計算は有限時点（しかも非常に低い次元）で動作しうることも確認した．このことは，「数値解析学に蓄積された，無限次元空間の有限次元近似手法を活用すれば，無限次元最適化もいまならば御せるのでは」という，研究提案時の着想を指示する結果である．ただし，（これも予想されたとおり）最適化問題が著しく局所最適解の多いものに帰着する場合が多いことも確認できており，克服すべき問題も多いことも把握した．
また，上記予備実験と並行して，本研究のこれからの展開に必要な，最適化手法と数値解析手法の関係の広範な調査も合わせて行った．特に，種々の最適化アルゴリズムとそれに対応する力学系・数値解法の関係を整理した．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

課題提案時に描いた着想を，簡易な系ではあるが予備実験で確かめ，課題遂行の可能性を確かめた結果となっており，またそれを踏まえて今後探究を深めてゆくための調査も概ね良好に行えており，初年度として想定した程度に進捗している．

Strategy for Future Research Activity

続く2年次においては，1年次の成果を踏まえて主に以下の2点を推進していく．
まず1点目として，初年度は非常に簡易な系で検証を行っていたものを，2年次はより現実的な物理モデルを題材とし，それが実際に無限次元最適化で同定されるかを検証していく．
続く2点目として，初年度にも確認され問題となった，最適化問題が著しく数多くの局所最適解を持つものになりがちな問題に対して，それを回避する最適化問題の構成法，あるいは局所解が多くとも最適化アルゴリズムに確率的挙動を入れることで，確率的に妥当な（局所）最適解へと向かわせるアルゴリズムの可能性について検討を展開してゆく．

Causes of Carryover

コロナ禍により，当初予定していた，出張を必要とする最適化・統計学研究者たちとの研究交流が十分に行えなかった．これらは2年次に取り返す計画を立てているが，依然としてコロナ禍が不透明であることもあり，本研究課題に関連する大規模なオンラインワークショップを計画し，そこで専門的知識の提供を受けることも検討している．