2020 Fiscal Year Research-status Report
Combinatorial aspects of the Teichmuller theory
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20K22304
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
石橋 典 京都大学, 数理解析研究所, 研究員 (30881718)
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2020-09-11 – 2022-03-31
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| Keywords | クラスター代数 / 高階Teichmuller理論 / 測度付きラミネーション / 写像類群 / スケイン代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、Teichmuller 理論およびその高階化に関する幾何学をクラスター代数を用いた組み合わせ論的な観点から明らかにすることである。本年度は研究目標の一つである「高階ラミネーションの幾何学的な構成」に着手し、次の成果を得た。
クラスター代数におけるFock-Goncharov双対性予想の観点からは、高階ラミネーションはクラスター多様体の（量子）関数環の基底をパラメトライズすべきものである。そこで本年度は京都大学の湯浅亘氏との共著論文において、針穴を持たない点付き曲面上のSL(3)-Teichmuller理論に付随したクラスター多様体の量子関数環（quantum upper cluster algebra）の幾何学的なモデルとしてKuperbergのsl(3)-スケイン理論に基づいた代数を導入し、実際にこれらの代数が同型となることを示した。特にこのスケイン代数はグラフ基底と呼ばれる曲面上の平らな有向3価グラフで表示される基底を持ち、高階ラミネーションの幾何学的なモデルとなることが強く期待される。また、双方の代数における自然な次数付けおよび高階写像類群作用を比較し、その等価性を示した。
これらの結果はSL(2)の場合にMullerによって知られていた結果の満足のいく形での一般化であり、SL(3)以上ではクラスター代数が無限変異型という質的に異なる複雑さを持つ事情を踏まえると大きな進展であると言える。特に本研究課題においては、SL(3)の場合に高階ラミネーションの幾何学的な定式化を行うための基礎が整った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
クラスター代数とスケイン代数の比較は当初から予定していた基本方針であったが、上にも触れた通りSL(3)理論におけるクラスター代数の無限性に起因した複雑性により、それらの完全な同型対応を得ることは困難に思われていた。本年度はこの課題について、高階Teichmuller理論に関連したある種のモジュライ空間の代数幾何学的研究において用いられていたcodimension-2 argumentの量子版を考察し援用することで解決することができた。
quantum upper cluster algebraとスケイン代数の完全な同型対応が得られたことは、本研究の目標の一つである「高階ラミネーションの幾何学的な実現」への基礎固めとして期待以上の進展であった。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の成果をもとに、「高階ラミネーションの幾何学的な実現」に引き続き取り組む。曲面が針穴を持たない場合には、quantum upper cluster algebraとスケイン代数の同型により高階ラミネーションはグラフ基底に対応すべきものである。残る課題はこれらのグラフ基底に対し、変異で期待される変換性を有する適切な座標系を設定することである。この座標系の設定については、曲面が針穴を持つ場合も含めて基礎的な観察が得られており、これをもとに「高階ラミネーションの幾何学的な実現」はSL(3)の場合に達成することを目指す。
また、本年度の研究で得られていたクラスター代数とスケイン代数の比較についてSp(4)の場合に同様の考察を行い、「高階ラミネーションの幾何学的な実現」を目指す。進展状況に応じて、結果のSL(n), Sp(n), SO(n)への部分的な一般化も視野に入る。
本研究と関連して、大矢浩徳氏との共著論文において導入したWilson線関数との理論との比較もFock-Goncharov双対性の観点からは重要なヒントになると思われる。これについても取り組む。
また、SL(3)の場合にはさらに進んで高階写像類群の作用について高階ラミネーションの幾何学的な実現を用いて調べ、「擬Anosov写像類の高次Teichmuller空間上の作用に関する力学系的特徴量の決定」に着手する。コンピュータプログラムを用いた実験成果として、高階ラミネーションへの擬Anosov写像類の作用については期待されていた以上に豊富な現象および複雑性が現れることが分かってきた。これらの新たな現象を含めて定式化し、写像類の分類に関して新たな洞察を与えることが今後の大きな目標となる。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスに関連した活動形態の変化のため、計画していた国内および海外出張費の使用を取りやめた。
次年度は状況に注意しつつ国内の研究者と研究討議および研究打ち合わせを行い、次年度使用額を国内出張費に充てる。
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