2021 Fiscal Year Research-status Report
New development on higher order elliptic and parabolic PDEs -- cooperation between harmonic analysis and geometric analysis
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20KK0057
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
岡部 真也 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70435973)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
橋詰 雅斗 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 助教 (20836712)
猪奥 倫左 東北大学, 理学研究科, 准教授 (50624607)
小野寺 有紹 東京工業大学, 理学院, 准教授 (70614999)
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| Project Period (FY) |
2020-10-27 – 2025-03-31
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| Keywords | 偏微分方程式論 / 変分法 / 調和解析 / 幾何解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度においては、幾つかの障害物問題に関する研究をドイツの研究グループと zoom などのツールを活用して実施し、幾つかの成果を得た。また、日本側の研究グループが主導的に関わる、調和解析的手法を用いた高階楕円型・放物型問題に関する研究については、日本側の研究グループ内で対面による研究討論と zoom による勉強会を定期的に開催することで、その基盤を構築することに時間を費やした。以下、それぞれの詳細について説明する。
障害物問題に関する共同研究については、まず、代表者とドイツグループの代表と言える H.-C. Grunau 氏との共同研究としてDirichlet境界条件下の弾性膜に関する障害物問題について結果を得て、論文として纏めて学術誌に投稿した。現在は掲載受理され、最終的な校正を待っている段階である。この研究においては最小解が存在するための必要十分条件を障害物の高さによって特徴づけることが未解決問題として残されており、現在、代表者、H.-C. Grunau氏にK. Deckelnick氏を加えた新たな共同研究を行うべく、議論を開始したところである。加えて、代表者と吉澤研介氏（研究協力者）にドイツ側から A. Dall'Acqua氏とM. Muller氏を加えた共同研究として、p-弾性エネルギーに関する障害物問題について考察した。その結果、最小解の正則性が失われる要因が p=2 を境に変化することを特定することに成功し、それを論文として取り纏めた。現在は学術誌に投稿し、査読中である。
高階楕円型・放物型問題に対する調和解析を用いた新しい解析ツールの構築については、日本側グループにおいて、zoomによる定期的な勉強会に加えて、対面による討論会を複数回実施した。その結果、複数の具体的な問題を設定することに成功し、現在はその解析に向けた討論を進めている段階である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究計画は、(1) ドイツ側グループとの幾何学的変分問題に関する共同研究、(2) 高階楕円型・放物型問題に関する新たな調和解析的手法の構築、という二本の柱から成るものである。(1) については、代表者とドイツ側代表のH.-C. Grunau氏との共同研究、代表者と吉澤研介氏（研究協力者）にドイツ側からA. Dall'Acqua氏とM. Muller氏を加えたグループによる共同研究という二つの研究についてそれぞれ成果を得ている。加えて、それぞれ、次の研究課題を既に設定し共同研究を継続していることから、(1) に関する研究の進捗状況は極めて順調であると言える。一方で、(2) については、日本側が主導的に進めることを前提とした課題であることから、まずは日本側研究グループにおいて基盤となる研究成果を得ることに主眼をおいてこれまで取り組んできた。コロナ禍の影響を受け、対面による研究討論ができないといった事態の影響を受けたものの、当該年度では zoom を活用した勉強会を活発に行い、加えて、対面による研究討論の機会を複数回持つことができた。その結果、具体的な研究課題を複数掘り起こすことに成功し、現在は具体的な共同研究に向けた討論に移行している。そういった意味では一定の成果は得ているものの、研究計画の段階における想定からはやや遅れていると言わざるを得ないと判断する。以上の (1)と(2)の進捗状況を総合的に判断し、おおむね順調に進展していると評価した。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究計画は、(1) ドイツ側グループとの幾何学的変分問題に関する共同研究、(2) 高階楕円型・放物型問題に関する新たな調和解析的手法の構築、という二本の柱から成るものである。(1) については複数の共同研究がよい軌道に乗っていると判断できるため、それを継続しつつ、更なる進展を目指す。一方、(2) については基盤となる研究成果を日本側グループによる共同研究として具体的に実施し得る見通しがたった段階である。ここで複数の成果を挙げ、それらをもとにドイツ側グループも交えた共同研究を提案し、研究の更なる進展を促したい。そのためには、日本側グループによる共同研究、ドイツ側グループを交えた共同研究、いずれにおいても対面による研究討論の機会を増やして議論を活発化させる必要がある。日本側グループ内においては、まだコロナ禍にあるとはいえ、対面による研究討論の機会を持ち得る目処がついたため、その機会を増やすことで研究の進度を加速させることを目指す。一方、ドイツ側グループを交えた対面による研究討論の機会を持てるかどうかは、コロナ禍に加えて、昨今の東欧情勢から、まだ不透明であると言わざるを得ない。しかしながら、対面による研究討論の機会を作ることが困難となった場合には、(1) において培ったzoomを活用した研究討論方法を最大限に活用し、対面による研究討論を実施できないことによる不足を可能な限り補うことを目指す。(1) において複数の共同研究を実施したことにより構築されたお互いの信頼関係をもってすれば、それは十分に可能であると考えている。
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| Causes of Carryover |
本研究計画では、日本側の研究グループがドイツ側の研究グループを一定期間訪ね集中的に議論を行うことを計画に含めていた。しかしながら、ここ2年間のコロナ禍のため、海外出張をグループで長期間行うことが困難であったため、それを実行できていない。その代替として zoom などのオンラインツールを活用した討論方法により、可能な範囲でその不足分を補ってきた。そのため、海外出張の渡航費およびその滞在費として計上していたものが未使用額として残され、次年度使用額が生じることとなった。今後の使用計画についてであるが、昨今、コロナ禍の世界的情勢も変化しつつあり、長期の海外出張も可能な状態となりつつある。状況を見定めながら、当初の計画であったドイツ側を訪ねて対面による議論実施を実行に移すことで未使用額を使用していくこととする。当初の計画では2週間程度を複数回行うことを計画していたが、状況が許せば、１ヶ月程度の滞在を行うなどして、当初の計画にあわせていくこととする。
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