2011 Fiscal Year Annual Research Report
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21224001
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
儀我 美一 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (70144110)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 仁司 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70102887)
舟木 直久 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (60112174)
利根川 吉廣 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80296748)
山本 昌宏 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (50182647)
松井 伸也 北海道情報大学, 公私立大学の部局等, 教授 (50219367)
神保 秀一 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80201565)
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| Keywords | 結晶成長 / ハミルトン・ヤコビ方程式 / 粘性解 / ナヴィエ・ストークス方程式 / 解析半群 / 漸近形 / 非強圧的 / 爆発法 |
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| Research Abstract |
本年度は結晶成長に関連する問題をいくつか取り扱うとともに、流体力学の方程式について大きな進展があった。
(1) 結晶成長現象で、平らな結晶面のいくつかの点から結晶の種の成長が始まる現象は、ハミルトン・ヤコビ方程式の外力項が不連続な問題として捉えられる。しかし、このハミルトン・ヤコビ方程式に関する解の定義はなく、一意性も不明であった。このような問題に対して適切な解の概念を導入した。 (2) 結晶表面の成長現象を表すハミルトン・ヤコビ方程式についてその時間無限大での解の漸近形を求め、それへの収束を示した。扱った方程式が非強圧的であるところが新しく、一定の漸近形が得られるのは領域の一部分だけであることもわかった。 (3) 離散変分問題の解で平均曲率流方程式の解が近似されるのではないかと考えられていたが、実際にハウスドルフ位相で収束することを示した。 (4) ナヴィエ・ストークス方程式の特異点解析で用いられた「爆発法」を線形問題（ストークス方程式）に応用することにより、30年近く未解決であったストークス半群のＬ無限大空間にての解析半群性を証明した。このほか半空間にての地球流体方程式の解の局所存在を接方向に減衰しない空間を新たに導入することで証明した。 (5) 熱方程式を用いたデータ分離の方法は、時刻ゼロの極限では2つのデータ集合からの等距離線で分離することにあたることを示した。
このように (1) 新たな解概念の定式化、(2) 解の挙動の解析、(3) 離散モデルと連続モデルの相互関係の解析、(4) 次元の効果の解析、といった本研究計画の目的に向かって着実に前進している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究目的にある、新たな解概念の定式化、解の挙動の解析、離散モデルと連続モデルの相互関係の解析、次元の効果の解析といった主要4テーマのどれについても、予想される進展があった。しかも、流体力学的な効果を解析しているうちに、数理流体力学の基本的作用素であるストークス半群について30年間未解決の難問を解決することができるなど、当初予想していなかった進展があった。科学技術諸分野からの問題探索でも、結晶のスパイラル成長やデータ分離など、予想していなかった成果が上がった。
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| Strategy for Future Research Activity |
次のような学際的研究集会や国際会議を開催することにより、研究計画を推進していく。
(a) 表面・界面ダイナミクスの数理III（5月16日～18日）、IV（秋学期）、心臓、血流の数理I（仮題）（6月）、II（秋学期）（以上東大）
(b) Variational Methods for Evolving Objects（7月30日～8月3日）（北大）
(c) 発展方程式若手の会（9月1日～4日）
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[Presentation] 渦の定義
Author(s)
儀我美一
Organizer
シンポジウム「渦の特徴付け」
Place of Presentation
北海道大学理学部
Invited
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